Alex_Jazz · 09-Июл-19 17:42(5 лет 4 месяца назад, ред. 01-Май-24 01:48)
Геометрия для начинающих по книге А.Х. Шеня "Геометрия в задачах" Автор: Спивак А.В. Страна: Россия Тематика: математика Тип раздаваемого материала: Видеоурок Продолжительность: 25:09:23 Год выпуска: 2015-2017 Язык: Русский Перевод: Не требуется Описание: Занятия Малого мехмата МГУ по книге Александра Ханиевича Шеня «Геометрия в задачах» для учеников 3-6 классов вёл в 2015-2017 годах в аудитории П12 второго гуманитарного корпуса МГУ с 12 часов по субботам А.В. Спивак.
Содержание
0. «Геометрия в задачах» Александра Ханиевича Шеня. 0:01:28
1. На прямой даны точки и расстояния между ними. Неравенство треугольника (1-2). 0:13:11
2. Деревянная линейка с делениями (3). 0:04:47
3. Расстояние между серединами отрезков, на которые разбит отрезок. 0:09:55
4. Две избы и колодец. 0:08:08
5. Средняя линия треугольника. 0:16:45
6. Точка, сумма расстояний от которой до трёх данных минимальна (6). 0:01:15
7. Точка, сумма расстояний от которой до трёх данных минимальна (решение). 0:06:55
8. Сумма расстояний до четырёх точек прямой. 0:03:54
9. Наименьшая сумма расстояний до пяти точек прямой. 0:03:28
10. Три задачи о длинах отрезков (8-10). 0:03:18
11. Решение задачи 8. 0:00:23
12. Решение задачи 9. 0:04:32
13. Обсуждение задачи 10. 0:03:32
14. Решение задачи 10. 0:08:30
15. Разные расположения точек на прямой. 0:10:57
16. Восемь расположений точек на прямой. 0:08:25
17. Углы. 0:24:24
18. Прямой угол на три части (25). 0:04:40
19. Угол величиной 100 градусов (33). 0:03:52
20. Ещё раз об угле величиной 100 градусов (34). 0:06:27
21. Четыре угла с одной вершиной (35). 0:11:47
22. Четыре угла (36). 0:07:29
23. Расположите 10 фишек вдоль сторон квадрата. 0:02:44
24. Стол поезда Лиссабон—Авейру (37). 0:02:50
25. Углы одной величины (38). 0:06:59
26. Три раза по 90 градусов, или Плоские углы трёхгранного угла (39). 0:04:22
27. Угол и лупа. 0:05:03
28. Очень большие машины. 0:35:44
29. Лист бумаги (42). 0:02:32
30. Конгруэнтность (66-71). 0:17:45
31. Самосовмещения (72). 0:39:45
32. Разрезание квадрата прямой на две конгруэнтные части (73). 0:01:17
33. Одной прямой разрежьте пополам квадрат и круг (74). 0:02:16
34. Разрезание на две конгруэнтные части (75). 0:00:55
35. Три признака конгруэнтности треугольников. 0:13:14
36. Четвёртый признак. 0:05:55
37. Параллелограмм. 0:08:30
38. Достраивание до параллелограмма (77-79). 0:05:39
39. Медиана и биссектриса (80-81). 0:14:55
40. Равносторонние треугольники на сторонах квадрата. 0:10:30
41. Равносторонние треугольники на сторонах параллелограмма. 0:15:34
42. Неравенство треугольника (48, 49, 51). 0:06:24
43. Объемлющая и объятая (52, 54, 55). 0:27:25
44. Наименьшая сумма расстояний до вершин треугольника и его точки (51). 0:05:27
45. Сторона треугольника вдвое длиннее другой и вдвое короче третьей (56). 0:03:15
46. Трёхзвенный шарнир (57). 0:06:10
47. Сумма длин диагоналей любого четырёхугольника меньше его периметра (58). 0:03:59
48. Сумма расстояний от точки треугольника до вершин и периметр (59). 0:07:54
49. Сумма длин диагоналей внутреннего и внешнего четырёхугольников (60). 0:02:38
50. Три определения окружности. 0:09:41
51. Замощение плоскости квадратами двух размеров. 0:06:26
52. Теорема Пифагора и равнодополняемость. 0:07:06
53. Точка внутри окружностей одного радиуса (101). 0:02:19
54. Две окружности. 0:02:14
55. Объединение и пересечение (103). 0:02:45
56. Хорды и диаметры (104, 105). 0:02:29
57. Канава, или Принцип Гюйгенса (106). 0:03:14
58. Палатка и шоссе (107). 0:02:28
59. Общая хорда перпендикулярна линии центров. 0:12:08
60. Расстояние между любыми двумя точками круга не превосходит диаметра (109). 0:02:20
61. Круглые предметы (111). 0:17:43
62. Третья вершина равнобедренного треугольника (112). 0:04:01
63. Превращаем точку окружности в её центр одним разрезом. 0:02:58
64. Перпендикуляр и параллельную за три построения (119, 120, 121). 0:05:00
65. Циркулем и линейкой отрезок на 4 равные части (122). 0:07:25
66. Циркулем и линейкой делим угол на четыре конгруэнтных угла (123). 0:09:54
67. Параллельность. 0:26:57
68. Параллельность сторон четырёхугольника (125, 127, 128). 0:03:00
69. Перпендикуляры к параллельным, углы с параллельными сторонами (129, 130). 0:05:07
70. Сумма величин углов треугольника (131). 0:02:21
71. Углы правильного (равностороннего) треугольника (132). 0:00:57
72. По одному углу равнобедренного треугольника узнайте другие (133, 134). 0:01:21
73. Величины наименьшего, среднего и наибольшего углов треугольника (135). 0:02:14
74. Сумма величин углов многоугольника (136-138). 0:03:57
75. Внешние углы (139, 141—143). 0:05:50
76. Педагогическая традиция (144). 0:04:49
77. Сумма величин углов выпуклого четырёхугольника (145). 0:00:56
78. Углы и диагонали четырёхугольника (146). 0:01:48
79. Сумма величин углов пятиконечной звезды (147). 0:24:13
80. Треугольник с углами величиной 36, 72 и 72 градусов и правильный пятиугольник (148). 0:08:26
81. Продолжения сторон четырёхугольника (149). 0:05:33
82. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами (150). 0:02:54
83. Сумма арктангенсов одной второй и одной третьей. 0:03:00
84. Наибольшее возможное число острых углов выпуклого многоугольника (153). 0:25:10
85. Биссектриса и арифметическая прогрессия (154). 0:08:15
86. Построение биссектрисы и перпендикуляра (155). 0:10:00
87. Шаги по окружности (156). 0:02:49
88. Центр описанной окружности треугольника. 0:01:40
89. Разрезания на остроугольные треугольники (172). 0:07:33
90. Равнобедренный прямоугольный треугольник режем на остроугольные треугольники. 0:09:17
91. Прямоугольный на остроугольные. 0:00:21
92. Квадрат на тупоугольные треугольники. 0:07:55
93. Параллелограмм (173—179). 0:18:35
94. Центрально симметричный четырёхугольник — параллелограмм (180). 0:02:04
95. Векторы (181, 182). 0:08:07
96. Медиана и достраивание до параллелограмма, средняя линия треугольника (183). 0:12:36
97. Медианы и центр тяжести треугольника. 0:10:55
98. Достраиваем треугольник до параллелограмма (185). 0:09:08
99. Площадь треугольника. 0:04:21
100. Медиана делит треугольник на равносоставленные. 0:10:00
101. Вспоминаем все известные геометрические теоремы. 0:06:48
102. Луна, Солнце, градус и астрономические наблюдения. 0:05:38
103. Параллельные прямые, средняя линия треугольника и параллелограмм. 0:15:57
104. Медиана и равенство площадей. 0:16:37
105. Завершение решения задачи о равенстве площадей. 0:18:35
106. Дельтоид (186). 0:02:31
107. Самосовмещения параллелограмма (187). 0:08:57
108. Из двух конгруэнтных треугольников сложите параллелограмм (188). 0:01:36
109. Шестиугольник, составленный из трёх параллелограммов (189). 0:03:43
110. Центр симметрии и средняя линия параллелограмма (190). 0:20:43
111. Центральная симметрия (191). 0:01:48
112. Восстанавливаем пятиугольник по серединам сторон, или Метод ложного положения. 0:05:51
113. Параллелограмм Вариньона. 0:07:11
114. Параллелограмм Вариньона и построение пятиугольника по серединам сторон. 0:02:55
115. Шестиугольник с двумя парами равных и параллельных сторон (192). 0:04:08
116. Покрытие плоскости копиями четырёхугольника (193). 0:09:26
117. Пятиугольник, параллелограммы и равнобедренный треугольник (194). 0:20:10
118. Определение прямоугольника. Равенство диагоналей прямоугольника (195-197). 0:09:49
119. Если диагонали прямоугольника равны, то все его углы прямые (198). 0:05:43
120. Медиана треугольника, проведённая из вершины прямого угла (199). 0:10:33
121. Квадрат разрежьте на 8 остроугольных треугольников. 0:02:36
122. Осевые симметрии, или 28 клеток на шахматной доске. 0:06:20
123. Квадрат, вписанный в квадрат (217, 218). 0:12:55
124. Четырёхугольник, симметричный относительно своей средней линии (219). 0:02:54
125. Ромб (220, 221). 0:08:59
126. Квадрат и полоса, ширина которой равна его стороне (222). 0:05:38
127. Во внешнюю сторону параллелограмма построены равносторонние треугольники. 0:07:42
128. Во внешнюю сторону параллелограмма построены квадраты. 0:09:41
129. Завязывая полоску в узел, получаем правильный пятиугольник (224). 0:05:45
130. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 0:03:29
131. Среднее число игр. 0:23:26
132. Один процент, одно промилле (234). 0:02:08
133. Параллельность и перпендикулярность на клетчатой бумаге (235, 236). 0:15:21
134. Координаты соседнего узла.TeX и MetaPost. Симметрия относительно начала координат. (237-239). 0:07:07
135. Сумма векторов. Абсцисса, ордината, аппликата. (240). 0:06:17
136. Точки с целыми координатами на прямой (241, 242). 0:10:12
137. Параллелограммы и квадраты на клетчатой бумаге (243, 244). 0:22:10
138. Дорисовываем треугольник до равнобедренного. 0:10:36
139. Сколько клеток пересекает диагональ прямоугольника? (245). 0:03:59
140. Сумма величин углов (246). 0:05:28
141. Руль и бутерброд (247). 0:06:04
142. Раскрашиваем решётку (248, 249). 0:10:39
143. Координаты вершин квадрата (250). 0:12:13
144. Видимые деревья, или Ряды Фарея (251). 0:16:52
145. Длины сторон выпуклого четырёхугольника уменьшили. Могли ли при этом обе диагонали удлиниться? 0:37:47
146. Муравей всё время поворачивает (261). 0:17:15
147. Окружности и равносторонние треугольники (263). 0:02:16
148. Угол между диагоналями соседних граней куба (264). 0:01:04
149. Равносторонний треугольник и квадрат (265, 266). 0:05:10
150. Шестиугольник, все углы которого равны (267). 0:11:00
151. Диагонали правильного шестиугольника пересекаются в центре его описанной окружности (268). 0:01:16
152. Циркулем удваиваем и делим пополам отрезок, заданный только его концами (269). 0:28:07
153. Равносторонний треугольник внутри равностороннего треугольника (270, 271). 0:06:31
154. Две задачи о правильном треугольнике и квадрате (272, 273). 0:08:25
155. Равноугольный шестиугольник со сторонами 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (274). 0:13:10
156. Раскраска плоскости и многоугольник из 10 клеток, не являющийся прямоугольником. 0:28:10
157. Сумма расстояний до сторон правильного треугольника (275). 0:08:52
158. Средняя линия треугольника (278-280). 0:29:17
159. Теорема Вариньона (282-283). 0:08:04
160. Средние линии (283, 284). 0:02:07
161. Восстанавливаем треугольник по серединам его сторон (285). 0:16:08
162. Делителем отрезков пополам и линейкой разделите отрезок на три равные части. 0:11:10
163. Для двух данных точек A и B найдите множество вершин C остроугольных треугольников ABC (и аналогичные задачи). 0:16:51
164. Метод интервалов. 0:54:06
165. Прямоугольник и медиана. 0:09:21
166. Квадрат и девять прямых. 0:02:33
167. Теорема Фалеса и подобные треугольники (302-305). 0:05:47
168. Траектория середины отрезка (306-307). 0:11:49
169. Перпендикуляр на биссектрису и точки касания вписанной окружности. 0:09:54
Комментарии
1. На прямой лежат точки A, B, C. Чему может равняться длина отрезка AC, если AB = 3 и BC = 5?
На прямой лежат точки A, B, C, D. Чему может равняться длина AD, если AB = 1, BC = 2 и CD = 4?
Неравенство треугольника. 2. На деревянной линейке отмечены деления: 0, 4 и 11 сантиметров. Отложите отрезок длиной а) 8; б) 5 сантиметров. 3. Отрезок длины 10 разбит на два отрезка. Найдите расстояние между их серединами. 4. На прямой дороге две избы. Где надо рыть колодец, чтобы сумма расстояний от него до изб была наименьшей возможной? 6. Найдите на данной прямой точку, сумма расстояний от которой до трёх (варианты: четырёх, пяти) данных точек этой прямой наименьшая возможная. 8. Для каких точек сумма расстояний до четырёх данных точек прямой наименьшая возможная? 9. Найдите на данной прямой точку, сумма расстояний от которой до пяти данных точек этой прямой наименьшая возможная. 10. На прямой лежат точки A, B и C так, что AB = 5 и AC = BC + 1. Найдите длины отрезков AC и BC. Может ли точка B лежать вне отрезка [AC]? 11. На прямой лежат точки A, B и C так, что AB = 5 и AC = BC + 1. Найдите длины отрезков AC и BC. Может ли точка B лежать вне отрезка [AC]? 12. На прямой лежат точки A, B, C так, что AB = 10, а отрезок AC длиннее, чем BC, в полтора раза. Найдите длины отрезков AC и BC. 13. На прямой лежат точки A, B, C и D так, что отрезок AB вдвое длиннее отрезка BC, а отрезок AD длиннее, чем BD, в полтора раза. Каким может быть отношение длин отрезков AD и CD? 14. Точка B лежит на отрезке AC, а точка D — на отрезке AB, причём AB: BC = 2 и AD : DB = 3 : 2. Найдите отношение длин отрезков AD и DC. 15. На прямой лежат точки A, B, C и D так, что отрезок AB вдвое длиннее отрезка BC, а отрезок AD длиннее, чем BD, в полтора раза. Каким может быть отношение длин отрезков AD и CD? 16. Нарисуйте все 8 расположений точек на прямой, если AC : CB= 1 : 2, AD : DB = 1 : 3 и AE : EB = 1 : 4. 21. Четыре угла с одной вершиной делят плоскость на четыре угла, два из которых пересекаются по одной точке и конгруэнтны. Докажите, что биссектрисы двух других углов лежат на одной прямой. 22. Четыре луча с общей вершиной разделили плоскость на четыре угла. Провели биссектрисы этих углов. Докажите, что они разрезали плоскость на четыре угла, суммы величин двух из которых равна сумме других (а заодно 180 градусам). Ответы журналистам о том, когда и почему возник Малый мехмат и почему начали работать с младшеклассниками. 23. Расположите 10 фишек вдоль сторон квадрата, чтобы вдоль каждой были а) 3; б) 4; в) 5 фишек. 24. Прямой угол разделили на два угла. Найдите величину угла между их биссектрисами. 25. Рассмотрим конгруэнтные углы, величины которых — целое число градусов. Найдите это число, если 21 такой угол можно расположить на плоскости без перекрытий, а 22 нельзя. 26. Для каких треугольников ABC существует точка D
а) в плоскости ABC;
б) в пространстве, для которой все три угла ADB, BDC и CDA прямые? 32. Можно ли разрезать квадрат на две конгруэнтные части прямой, не проходящей через его центр? 40. На сторонах квадрата ABCD во внешнюю сторону построили равносторонние треугольники BCX и CDY. Найдите величину угла XAY. Сделайте то же самое для случая, когда оба треугольника построены внутри квадрата.
Программа "Живая геометрия": http://mmmf.msu.ru/lect/mjakishv/gsp(rus).exe
или http://mmmf.msu.ru/lect/mjakishv/gsp(rus).zip 41. На сторонах параллелограмма ABCD во внешнюю сторону построили равносторонние треугольники BCX и CDY. Найдите величину угла XAY. 43. Периметр многоугольника больше периметра лежащего внутри него выпуклого многоугольника. 45. Может ли сторона треугольника быть вдвое длиннее другой его стороны и вдвое короче третьей? 46. Шарнир состоит из звеньев длиной 2, 5 и 8 см. Каким может быть расстояние между его концами? 47. Сумма длин диагоналей любого четырёхугольника меньше его периметра. 48. Сумма расстояний от любой точки треугольника до его вершин больше половины его периметра и меньше его периметра. 49. Один выпуклый четырёхугольник расположен внутри другого. Может ли сумма длин диагоналей внутреннего быть больше суммы длин диагоналей внешнего? 53. Точка X лежит внутри нескольких окружностей одного радиуса. Докажите, что все их центры лежат внутри круга того же радиуса с центром X. 54. Нарисуйте окружности, радиус одной из которых равен 3, другой — 5, а расстояние между центрами — 9. Пересекаются они или не пересекаются? 55. Две деревни находятся на расстоянии 3 километра одна от другой. Нарисуйте, где можно устроить пикник, чтобы расстояние до
а) ближайшей деревни; б) обеих деревень не превосходило 2 километров. 56. Хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности. Длина любой хорды не превосходит удвоенного диаметра, причём равенство выполнено только для диаметров — хорд, проходящих через центр окружности.
Отрезок, соединяющий середину хорды с центром окружности, перпендикулярен хорде. 57. Турист стоит на берегу узкой прямой канавы длиной 500 метров на расстоянии 200 метров от одного её конца и 300 метров от другого. Нарисуйте часть поля, куда он может попасть, пройдя не более 400 метров и не переходя канавы.
Принцип Гюйгенса (1629—1695): от каждой точки, до которой добрались, можно идти дальше. 58. Шоссе имеет форму прямоугольника 5×7 км. Турист хочет поставить палатку, чтобы расстояние от стоянки до ближайшей точки шоссе было не меньше километра. Нарисуйте множество возможных положений палатки.
Рисунок в конце ошибочен: должны быть «закруглённые углы», то есть вместо прямоугольника — фигура, граница которой состоит из четырёх четвертинок окружности радиуса 1 и четырёх отрезков. 59. Общая хорда двух разных окружностей перпендикулярна линии их центров. Шимпанзе и эмоции. Параллельные хорды. 61. Почему круглы колёса? круги на воде? Луна? капли? крышки канализационных люков? стволы деревьев? радуги? монеты? рулоны туалетной бумаги? завинчивающиеся крышки банок? 62. Для данных точек A и Bнарисуйте множество таких точек M, что треугольник ABM равнобедренный. 63. В круге отмечена точка. Разрежьте его на две части и поверните одну из них так, что опять возникнет круг, а отмеченная точка будет его центром. 64. Тремя построениями циркулем и линейкой опускаем и восставляем перпендикуляр, проводим параллельную прямую. (Циркулем можно нарисовать окружность данного радиуса с центром в данной точке. Линейкой — провести прямую через две данные точки.) 69. Перпендикуляры, проведённые на плоскости к параллельным прямым, параллельны между собой. Что такое прямая? Углы с соответственно параллельными сторонами. 72. В равнобедренном треугольнике есть угол величиной а) 80; б) 60 градусов. Каковы величины других углов? 73. Какие значения может принимать величина а) самого большого; б) среднего; в) самого маленького угла треугольника? 76. Через данную точку циркулем и линейкой проведите прямую параллельно данной прямой. 78. Сумма величин углов CAD и ADB выпуклого четырёхугольника ABCD равна сумме величин углов ACB и CBD. 80. На отрезке BC лежит точка M. Найдите величины углов треугольника ABC, если AB = BC и BM = MA = AC. 81. Для каждой из двух пар противоположных сторон выпуклого четырёхугольника их продолжения пересекаются под углом 20 градусов. Докажите, что некоторые два противоположные угла одной величины, а два другие отличаются на 40 градусов. 83. Точки E и F делят сторону AB прямоугольника ABCD на три равные части, каждая из которых равна стороне AD. Найдите сумму величин углов AED и AFD. 86. Через данную точку проведите прямую, чтобы она образовала равные углы с двумя данными непараллельными прямыми. 87. Робот проезжает по прямой 1 метр, поворачивает направо на некоторый угол, проезжает ещё один метр, опять поворачивает направо на тот же угол, снова проезжает 1 метр и так далее. Докажите, что точки поворотов лежат на одной окружности. 89. Разрежьте а) прямоугольный равнобедренный; б) какой-нибудь тупоугольный; в) произвольный треугольник на остроугольные треугольники.
Чтобы разрезать треугольник с углами величиной 36, 36 и 108 градусов на остроугольные, рассмотрите правильный пятиугольник и продолжения его сторон. 93. Признак — достаточное условие. Например, из всех четырёхугольников квадрат выделен признаком равенства всех сторон.
Свойство — необходимое условие. Например, одно из свойств квадрата — равенство всех его углов. 95. Если стороны AB и DC четырёхугольника ABCD равны и сонаправлены, то ABCD — параллелограмм. 98. Сколькими способами для трёх точек, не лежащих на одной прямой, можно найти четвёртую так, чтобы они были вершинами параллелограмма? 106. Если четырёхугольник разбит диагональю на два конгруэнтных треугольника, обязательно ли он — параллелограмм? 100. Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон параллелограмма, проходит через его центр. Докажите это. 115. Если в выпуклом шестиугольнике ABCDEF есть две пары равных по длине и параллельных сторон: AB = DE, BC =EF, AB || DEи BC || EF, то и третья пара такова: CD = FA, CD || FA, причём диагонали AD, BE и CF пересекаются в одной точке — центре симметрии шестиугольника. Докажите это.
Нарисуйте не имеющий центра симметрии шестиугольник с двумя парами параллельных и равных по длине противоположных сторон. 116. Объединение четырёхугольника с его образом при повороте на 180 градусов вокруг середины одной из сторон является центрально симметричным шестиугольником, параллельными переносами которого можно замостить плоскость. Докажите это. 117. Стороны AB и CD выпуклого пятиугольника ABCDE равны и параллельны. Диагональ AC параллельна стороне DE. Докажите, что если угол BCE прямой, то луч EC является биссектрисой угла BED. 120. Проведённая из вершины прямого угла треугольника медиана вдвое короче гипотенузы. 122. Закрасьте 28 полей шахматной доски одну за другой так, чтобы после закрашивания каждой очередной клетки закрашенная к этому моменту фигура имела ось симметрии. 123. На сторонах квадрата отложили по часовой стрелке равные отрезки. Докажите, что возникшие четыре точки являются вершинами квадрата.
Один квадрат вписан в другой (все четыре вершины малого лежат на сторонах большого). Докажите, что треугольники, остающиеся от большого квадрата после вырезания малого, конгруэнтны. 124. Если четырёхугольник симметричен относительно прямой, проходящей через середины двух его сторон, обязательно ли все его углы прямые?
А если он симметричен относительно обеих средних линий? 125. Какие четырёхугольники симметричны относительно обеих своих диагоналей?
Пересечение двух непараллельных полос одной ширины — ромб. 127. Во внешнюю сторону параллелограмма ABCDпостроены равносторонние треугольники BCF и CDE. Докажите, что треугольник AEF равносторонний. 128. Во внешнюю сторону параллелограмма построены квадраты. Докажите, что их центры являются вершинами квадрата. 129. Края полосы бумаги параллельные и прямые. Её завязали в узел и сплющили, как показано на рисунке (пунктир дорисован вдоль невидимой части края). Докажите, что полученный пятиугольник правильный. 131. Сколько в среднем будет сыграно результативных игр, если играют до перевеса в две победы? 142. Раскрасьте точки плоскости с целыми координатами в два, три, четыре или пять цветов так, чтобы точки каждого цвета образовывали решётку. 150. Если величины всех углов выпуклого шестиугольника равны, то равны и модули разностей длин его противоположных сторон. 155. Нарисуйте шестиугольник, величины всех углов которого равны, а длины сторон суть 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (не обязательно в таком порядке). 156. Раскрасьте клетчатую плоскость в 10 цветов и придумайте такой многоугольник из 10 клеток, не являющийся прямоугольником, что как ни клади его по границам клеток на плоскость, все 10 накрытых им клеток будут разных цветов. 157. Сумма расстояний от точки, расположенной внутри равностороннего треугольника, до сторон этого треугольника не зависит от расположения точки и равна высоте треугольника. 159. Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма. 160. Середины сторон ромба являются вершинами прямоугольника. Середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба. Середины сторон квадрата являются вершинами квадрата. Средняя линия треугольника делит пополам любой отрезок, соединяющий точку параллельной этой средней линии стороны с противоположной вершиной треугольника. 161. Даны три точки, не лежащие на одной прямой. Циркулем и линейкой постройте треугольник, серединами сторон которого являются эти точки. 163. Для двух данных точек A и B найдите множество вершин C остроугольных треугольников ABC (и аналогичные задачи). 165. Точка M — середина стороны AD прямоугольника ABCD, а точка N — середина стороны BC. На продолжении отрезка CD за точку D взята точка P. Точку пересечения прямых PM и AC обозначили буквой Q. Докажите равенство величин углов QNM и MNP. Задача 159 книги А.А. Егорова и Н.Б. Васильева "Задачи Всесоюзных математических олимпиад". 166. Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как 2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку. Это задача номер 166 из книги "Задачи Всесоюзных математических олимпиад" Н.Б. Васильева и А.А. Егорова.
Обновление. 31.10.2022 изменён номер 161-го файла и добавлены файлы с 163-го по 169-й.
Другие записи Малого мехмата МГУ и летних школ А.В. Спивака и Е.Б. Прониной
Всем привет. Подскажите, где можно найти следующие книги автора Спивак А.В. 1)Спивак А.В. Математический праздник (задачи по математике, предлагавшиеся на занятиях математических кружков и олимпиадах).
2) Спивак А.В. Арифметика.
3) Спивак А.В. Арифметика-2.
4) АРИФМЕТИКА (введение) Спивак А. В. Ответьте пожалуйста в лс если есть книжки) Спасибо)
