Alex_Jazz · 18-Июн-18 18:57(6 лет 5 месяцев назад, ред. 01-Май-24 01:43)
Математика для 6-9 классов. А.В. Спивак, МММФ, 2017-2018 Автор: Спивак А.В. Страна: Россия Тематика: математика Тип раздаваемого материала: Видеоурок Продолжительность: 19:15:02 Год выпуска: 2017-2018 Язык: Русский Перевод: Не требуется Описание: Видеозапись занятий математического кружка Александра Васильевича Спивака для 6-9 классов. Малый мехмат МГУ, 2017-2018 учебный год, аудитория П12 второго гуманитарного корпуса МГУ с 12:25 до 14:35 по субботам: 1. Максимальный вписанный круг и ширина выпуклой фигуры. 0:17:55
2. Числа сочетаний и определения чисел Стирлинга. 0:33:14
3. Числа Стирлинга (мешки и мантия-невидимка). 0:12:00
4. Числа Стирлинга (круглые столы). 0:11:03
5. Треугольные числа. 0:06:31
6. Одинажды два плюс дважды три плюс трижды четыре и так далее. 0:12:36
7. Индукция. 0:06:11
8. Сумма кубов нескольких первых натуральных чисел. 0:11:16
9. Индукция и сумма кубов. 0:08:28
10. Комбинаторный смысл тождеств, или Сумма чисел сочетаний. 0:09:13
11. Числа Стирлинга и разложения степеней по убывающим степеням. 0:13:47
12. Сумма дробей. 0:01:04
13. Вершины, рёбра, грани (формула Эйлера). 0:04:36
14. Индукция и сумма обратных величин произведений соседних чисел. 0:14:07
15. Разность обратных к соседним натуральным числам. Иоганн Кеплер. 0:25:13
16. Разложение единицы, делённой на произведение четырёх подряд чисел, в разность двух дробей. 0:05:51
17. Разрезание пиццы. 0:14:27
18. На какое наибольшее число частей делят плоскость 10 окружностей? 0:05:35
19. Разрезания на две конгруэнтные части. Куб и кубооктаэдр. 0:05:47
20. Суммы двух квадратов и остатки от деления на 4. 0:17:09
21. Теорема Ферма-Эйлера о представимости простого числа в виде суммы двух квадратов. 0:06:39
22. Теорема Ферма-Эйлера и квадраты с четырьмя прямоугольниками. 0:35:26
23. Целые гауссовы числа и суммы квадратов. 0:16:36
24. Биссектриса, ромб, подобные треугольники. 0:06:33
25. Метод координат, подобные треугольники. 0:08:33
26. Шесть синих и семь красных вершин 21-угольника. 0:04:48
27. Может ли сумма чисел, обратных восьми начётным числам, равняться 1? 0:02:02
28. Восемь ладей не бьют одна другую. 0:08:18
М1294. Восемь ладей и куб. 0:06:38
29. Двадцать красных и несколько синих. 0:04:59
30. Нечётное число красных и синих точек вне отрезка. 0:06:25
31. Двадцать карточек. 0:06:33
32. Десять хорд правильного 20-угольника. 0:05:09
М63. Квадрат из 18 доминошек. 0:04:10
33. У любой отмеченной вершины чётное число отмеченных соседок, а у неотмеченной нечётное. 0:16:12
34. Количество раскрасок — степень двойки. 0:03:54
35. Раскраски вершин куба. 0:11:50
36. Раскраска треугольной призмы. 0:04:16
37. Существование раскраски и граф с нечётным числом вершин нечётных степеней. 0:12:25
38. Сумма степеней вершин графа вдвое больше числа его рёбер. 0:03:55
39. Две последовательности и уравнение Пелля. 0:05:23
40. Рекуррентное соотношение, выполненное для обеих последовательностей. 0:04:36
41. Не более чем два отрицания. 0:14:45
42. Выражаем через три переменные и симметрические функции от них все булевы функции. 0:17:06
43. Начинаем выражать симметрические функции через два отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. 0:11:54
44. Выражаем симметрические функции через два отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. 0:04:46
45. Необходимость честности. 0:06:21
46. Магнитофонные кассеты, Зильберман и интернет. 0:08:12
47. Цепные дроби корней из 2 и 3. Теорема Галуа. 0:13:30
48. Цепные дроби корней из 7, 8, 3, 5 и 19. 0:09:06
49. Цепные дроби и школа. 0:03:41
50. Квадратичные формы и уравнения Пелля. N.J. Wildberger. 0:42:21
51. Шесть чисел. 0:06:58
52. Добрый и злой начальники (условие). 0:01:50
53. Добрый и злой начальники (решение). 0:01:43
54. Кони, не бьющие друг друга, но бьющие всю доску. 0:18:30
55. Прямая раскрашена в 11 цветов (условие). 0:00:19
56. Прямая раскрашена в 11 цветов (решение). 0:00:43
57. Хотя бы один из углов между 7 прямыми на плоскости меньше 26 градусов. 0:04:18
58. Вписанный в трапецию параллелограмм (условие). 0:01:01
59. Вписанный в трапецию параллелограмм (подсказка). 0:03:15
60. Вписанный в трапецию параллелограмм (вторая подсказка). 0:02:43
61. Вписанный в трапецию параллелограмм (попытка решения). 0:01:33
62. Вписанный в трапецию параллелограмм (третья подсказка). 0:02:21
63. Вписанный в трапецию параллелограмм (решение). 0:04:07
64. Точки трёх цветов, между любыми двумя есть другого цвета (условие). 0:03:14
65. Точки трёх цветов, между любыми двумя есть другого цвета (решение). 0:03:19
66. Перевёрнутые треугольники и салфетка Серпинского. 0:06:15
67. Перевёрнутые треугольники и шестиугольные соты. 0:11:34
68. Вырезаем прямоугольные равнобедренные треугольники (условие). 0:02:27
69. Вырезаем прямоугольные равнобедренные треугольники (решение и обсуждение). 0:06:48
70. Отношение площади выпуклого многоугольника к его периметру. 0:14:58
71. Точка внутри квадрата и сумма величин углов (условие). 0:05:59
72. Точка внутри квадрата и сумма величин углов (решение). 0:02:50
73. Разности квадратов целых чисел. 0:00:55
74. Айгнер и Циглер «Доказательства из КНИГИ». 0:01:01
75. Направления прямых (постановка задачи). 0:16:22
76. Крест из 5 квадратов и его центр (13 точек и 12 направлений). 0:08:14
77. Минимальное число направлений и последовательность перестановок. 0:08:26
78. Две конфигурации и их последовательности перестановок. 0:09:02
79. Пересекающие, касательные и остальные перестановки. 0:09:22
80. Повторение и два примера последовательностей перестановок. 0:05:35
81. Перестановки, возникающие при обходе вокруг 12-угольника. 0:08:32
82. Тринадцать точек и двенадцать направлений. 0:03:58
83. Ещё одна конфигурация, в которой 13 точек и 12 направлений. 0:09:41
84. Вершины квадрата и середины его сторон. 0:22:07
85. Доказательство теоремы о количестве направлений. 0:09:22
86. Энциклопедия числовых последовательностей. 0:01:39
87. В малом совпадающие с плоскостью... 0:25:05
88. Лента Мёбиуса — из прямоугольника, цилиндр — из плоскости. 0:06:16
89. Разбиение множества на классы эквивалентности. 0:10:39
90. Цилиндр и тор. 0:28:23
91. Лист Мёбиуса и скользящая симметрия. 0:08:54
92. Бутылка Клейна. 0:06:29
93. Перемещения плоскости. Параллельный перенос. 0:06:39
94. Поворот и скользящая симметрия. 0:23:13
95. Композиция двух осевых симметрий. 0:09:59
96. Композиция поворотов. 0:09:09
97. Теорема Шаля и осевые симметрии. 0:26:57
98. Плоскость, цилиндр, тор, лист Мёбиуса, бутылка Клейна. 0:12:33
99. Определение группы. Ассоциативность композиции отображений. Группа преобразований множества. 0:21:20
100. Постановка задачи о подсчёте количества раскрасок. 0:06:20
101. Обсуждение задачи о количестве раскрасок. 0:06:24
102. Наивное решение задачи о количестве раскрасок. 0:07:59
103. Формула Бёрнсайда. 0:08:49
104. Перематываем ленты (условие задачи). 0:04:09
105. Чётность перестановки. 0:01:18
106. Разложение на независимые циклы и на наименьшее число транспозиций, или Декремент. 0:23:14
107. Любая перестановка представима в виде композиции двух инволюций. 0:03:55
108. Представление люблй перестановки в виде композиции инволюций. 0:06:52
109. Поверхности ориентируемые и неориентируемые. 0:14:28
110. Сфера. 0:03:57
111. Проективная плоскость. 0:04:54
112. Примеры поверхностей и формулировка теоремы. 0:10:00
113. Бутылку Клейна разрезаем на две проективные плоскости. 0:01:06
114. Компактные поверхности без края. 0:11:20
115. Тор, склеенный с проективной плоскостью, и бутылка Клейна, склеенная с проективной плоскостью. 0:02:49
116. Эйлерова характеристика поверхности. 0:08:16
117. Пример вычисления эйлеровой характеристики. 0:08:46
118. Эйлерова характеристика не зависит от того, как поверхность склеена из многоугольников. 0:05:25
119. Проективная плоскость и тор (напоминание). 0:05:20
120. Склеиваем несколько многоугольников в один. 0:05:16
121. Все вершины превращаем в единственную. 0:07:04
122. Склеиваем сторону с сонаправленной. 0:05:36
123. Склеиваем сторону с противоположно направленной. 0:07:09
124. Связная сумма проективной плоскости и тора. 0:07:42
125. Равнобедренный прямоугольный треугольник, проекция которого подобна ему, но меньше по площади (условие). 0:03:45
126. Равнобедренный прямоугольный треугольнк, проекция которого подобна ему, но меньше по площади (решение). 0:03:29
Комментарии к некоторым видео
1. Отношение максимального радиуса круга, расположенного в выпуклой ограниченной фигуре, к ширине этой фигуры (то есть к ширине наименьшей полосы, в которую можно поместить рассматриваемую фигуру), не бывает меньше 1/3 и не бывает больше 1/2. 8. Сумма кубов нескольких первых натуральных чисел равна квадрату их суммы. 17. На какое наибольшее число частей могут разбить плоскость несколько (данное число) прямых? 18. Доказываем сначала рекуррентную, а затем явную формулу для наибольшего количества частей, на которые могут разбить плоскость несколько (данное число) окружностей. М1294. Куб размером 10×10×10 сложен из 500 чёрных и 500 белых кубиков в шахматном порядке (кубики, примыкающие один к другому гранями, разного цвета). Из этого куба вынули 100 кубиков таким образом, чтобы в каждом из 300 рядов размером 1×1×10, параллельных какому-нибудь ребру куба, стало не хватать одного кубика. Докажите, что число вынутых чёрных кубиков делится на 4. 29. Могут ли 20 вершин правильного чётноугольника быть покрашены в красный цвет, а остальные в синий так, что никакие две синие вершины не соседние, а напротив любой красной вершины находится синяя? 31. Можно ли выложить карточки с цифрами 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9, 9 так, чтобы между любыми двумя карточками с одной и той же цифрой было столько же карточек, какова эта цифра? 32. Можно ли разбить вершины правильного 20-угольника на пары и соединить точки каждой пары хордой так, что длины всех 10 полученных хорд будут разными? М63. Можно ли из 18 плиток размером 1×2 выложить квадрат так, чтобы при этом не было ни одного прямого «шва», соeдиняющего противоположные стороны квадрата и идущего по краям плиток? 33. В любом графе можно отметить одну или несколько вершин так, чтобы у любой отмеченной вершины было чётное число отмеченных соседок, а у неотмеченной — нечётное. 35. Раскраски вершин куба и система линейных уравнений над полем вычетов по модулю 2. Свободные неизвестные. 41. Любая булева функция от трёх аргументов представима через конъюнкции, дизъюнкции и не более чем два отрицания. 42. При помощи конъюнкций и дизъюнкций выражаем через три переменные и симметрические функции от них все булевы функции данных трёх аргументов. 43. Начинаем выражать симметрические функции через два отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. 44. Выражаем симметрические функции от трёх булевых переменных через два отрицания, конъюнкции и дизъюнкции. 45. Нельзя разрешать себе существенные пробелы в знаниях — они не дадут учиться дальше. 46. Мог ли обычный человек слушать хорошую музыку по интернету 20 лет назад? Александр Рафаилович Зильберман (1946-2010) вёл «Задачник «Кванта» по физике» и преподавал физику. 50. Советую прочитать первоисточник https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/... или (в книгу для школьников вошла не вся статья) русский вариант http://lib100.com/math/arithmetic/djvu 52. Сумма зарплат равна 10 000. Добрый начальник хотел всем, у кого зарплата не больше 500, её утроить, а остальным повысить на 1000. Сумма зарплат стала бы равна 24 000. Злой начальник тем, у кого зарплата больше 500, снизил до 500. Какова теперь сумма зарплат? 54. Поставьте на шахматную доску как можно меньше число коней, чтобы они не били друг друга, но били все остальные поля. 55. Прямая раскрашена в 11 цветов. Докажите, что существуют две точки одного цвета, расстояние между которыми целое. 57. На плоскости даны 7 прямых. Докажите, что среди них есть две, величина угла между которыми меньше 26 градусов. 64. На плоскости расположено конечное множество точек трёх цветов. На отрезке, соединяющем любые две точки одного цвета, нет ни одной точки того же цвета, но есть хотя бы одна другого. Может ли быть 6 точек? Более 6 точек? 66. Всероссийская олимпиада, 1976 год. 70. Отношение площади выпуклого многоугольника к его периметру меньше удвоенного аналогичного отношения, вычисленного для любого объемлющего данный выпуклого многоугольника. Часть этой задачи была на Всероссийской олимпиаде 1966 года. Требовалось доказать, что в любом выпуклом многоугольнике помещается круг, радиус которого равен отношению площади рассматриваемого многоугольника к его периметру. (Номер 78 "Задач Всесоюзных математических олимпиад" Н.Б. Васильева и А.А. Егорова.) 71. Для любой точки M, лежащей внутри квадрата ABCD, сумма величин углов MAB, MBC, MCDи MDAбольше 135 и меньше 225 градусов. Всероссийская олимпиада, 1976 год. 74. Мартин Айгнер и Гюнтер Циглер. «Доказательства из Книги. Лучшие доказательства со времён Евклида до наших дней». 77. Минимальное число направлений. Последовательность перестановок, возникающая при обходе вокруг системы точек. 82. Вершины квадрата, середины сторон, центр и середины отрезков, соединяющих центр с серединами сторон: 13 точек, 12 направлений. 84. Вершины квадрата и середины его сторон. Пересекающие, касательные и все остальные перестановки. 85. 6 точек, 6 направлений. Доказательство теоремы о количестве направлений. 86. Рассказ о сайте http://oeis.org 87. Подробно это рассказано в книге Вячеслава Валентиновича Никулина и Игоря Ростиславовича Шафаревича «Геометрия и группы». 89. Рефлексивность: каждый элемент эквивалентен себе. Симметричность: если один элемент эквивалентен второму, то и второй эквивалентен первому. Транзитивность: если первый элемент эквивалентен второму, а второй третьему, то первый эквивалентен третьему. 91. Из полосы можно сделать ленту Мёбиуса, из всей плоскости — лист Мёбиуса. 93. Мишель Шаль (Michel Chasles, 1793—1880) — французский геометр и историк математики. 95. Композиция осевых симметрий с параллельными осями — параллельный перенос, а с непараллельными — поворот. 99. Довольно трудные лекции о группах: https://openedu.ru/course/spbu/MATGR 100. Сколькими способами можно покрасить клетки прямоугольника размером 6×3, если даны nкрасок и а) нельзя ни поворачивать, ни переворачивать; б) можно поворачивать; в) можно и поворачивать, и переворачивать? 103. Уильям Бёрнсайд (William Burnside, 1852—1927) сформулировал и доказал в 1897 году обсуждаемый в этом и следующих видео приём подсчёта как общеизвестный. В 1845 году его использовал Коши, а в 1887 году — Фробениус. Другими словами, лемма Бёрнсайда известна с середины XIX века. 104. При каком количестве магнитофонных лент, намотанных зелёными концами внутрь и красными наружу, их можно перемотать, пользуясь одной пустой катушкой, чтобы все они оказались на прежних местах (каждая на своём!) зелёными концами наружу? 107. Любая перестановка представима в виде композиции двух инволюций. 108. Представление любой перестановки в виде композиции двух инволюций и поворот как композиция двух осевых симметрий. 123. Рассматриваем случай, когда хотя бы одну сторону склеиваем с противоположно направленной стороной. 124. Связная сумма проективной плоскости и тора — то же, что связная сумма трёх проективных плоскостей.
Обновление: 19.7.2020 добавлены видео с номерами 125 и 126.
Другие записи Малого мехмата МГУ и летних школ А.В. Спивака и Е.Б. Прониной
