Бураго Ю.Д., Залгаллер В.А. - Введение в риманову геометрию [1994, DjVu, RUS]

От авторов 3
Глава 1. Предварительные сведения 5
§ 1. Евклидово пространство 5
1.1. Евклидово векторное пространство (5). 1.2. Евклидово точечное пространство (7).
§ 2. Гладкие многообразия 8
2.1. Локальные координаты (8). 2.2. Гладкое многообразие (8). 2.3. Гладкое отображение (11).
§ 3. Касательное пространство и дифференциал гладкого отображения 12
3.1. Векторы (12). 3.2. Касательное пространство (12). 3.3. Касательное расслоение (14). 3.4. Дифференциал отображения (14). 3.5. Погружение, вложение, субмерсия (16).
§ 4. Векторные поля на многообразии 17
4.1. Векторное поле (17). 4.2. Пространство векторных полей (19). 4.3. Скобка Ли (19).
§ 5. Ориентация. Фундаментальная группа. Накрытие 22
5.1. Ориентация (22). 5.2. Фундаментальная группа (23). 5.3. Накрытие (24). 5.4. Действие группы и накрытие (27).
Глава 2. Основы римановой геометрии 29
§ 6. Риманово многообразие 29
6.1. Риманова структура (29). 6.2. Примеры (30). 6.3. Длина (31). 6.4. Метрика (32). 6.5. Объем (35).
§ 7. Линейные связности 35
7.1. Наводящие соображения (35). 7.2. Ковариантное дифференцирование (37). 7.3. Символы Кристоффеля (39). 7.4. Симметричная связность (41).
§ 8. Связность Леви—Чивита 41
8.1. Римаиова связность (41). 8.2. Связность Леви—Чивита (43).
§ 9. Ковариаитиое дифференцирование вдоль пути 46
9.1. Векторное поле вдоль отображения (46). 9.2. Ковариантная производная вдоль пути (47).
§ 10. Параллельный перенос 50
10.1. Параллельное векторное поле (50). 10.2. Параллельный перенос (51).
§11. Геодезические и экспоненциальное отображение 54
11.1. Геодезические (54). 11.2. Существование геодезических (56). 11.3. Экспоненциальное отображение (58).
§ 12. Геодезические в римановом многообразии 62
12.1. Формула первой вариации длины (62). 12.2. Лемма Гаусса (67). 12.3. Шары и кратчайшие (69). 12.4. Длина и кратчайшие в классе всех путей (73). 12.5. Сходимость геодезических (74). 12.6. Специальные координаты (76).
§ 13. Полнота 78
13.1. Теорема Хопфа—Ринова (78). 13.2. Замкнутые геодезические (80).
13.3. Лемма Берже (82).
§ 14. Кривизна 83
14.1. Искривленность как отличие от евклидова пространства (83). 14.2. Преобразование кривизны (84). 14.3. Геометрическая интерпретация преобразования кривизны (86). 14.4. Тензор кривизны и его алгебраические свойства (89). 14.5. Преобразование и тензор кривизны в локальных координатах (92). 14.6. Кривизна Римана (93). 14.7. Секционная кривизна (94). 14.8. Пространства постоянной кривизны (начальные сведения) (98). 14.9. Кривизна Риччи и скалярная кривизна (100). 14.10. Преобразование кривизны и параллельный перенос (102). 14.11. Локальная изометрия (105). 14.12. Риманова субмерсия. Формула О'Нейла (107).
§ 15. Подмногообразия 112
15.1. Индуцированная связность (112). 15.2. Вторая основная форма (114). 15.3. Теорема Гаусса (115). 15.4. Вторая форма относительно нормали (116). 15.5. Вполне геодезические подмногообразия (119).
§ 16. Псевдоримановы многообразия 120
16.1. Псевдоевклидовы пространства (120). 16.2. Псевдоримановы многообразия (126). 16.3. Подмногообразия в псевдоримановом многообразии (130).
§ 17. Комплексное римановы многообразия 132
17.1. Почти комплексные структуры (132). 17.2. Комплексное многообразие (133). 17.3. Эрмитовы и кэлеровы многообразия (134).
Глава 3. Применения элементов вариационной теории геодезических в римановой геометрии 136
§ 18. Формула второй вариации 136
18.1. Энергия пути (136). 18.2. Вторая вариация энергии (138). 18.3. Вторая вариация длины (139). 18.4. Некоторые применения формулы второй вариации (140). 18.5. Теорема Синга (141).
§ 19. Уравнения Якоби 143
19.1. Поля Якоби (143). 19.2. Сопряженные и фокальные точки (145). 19.3. Сопряженные точки как критические точки экспоненциального отображения (148). 19.4. Об изометриях пространств постоянной кривизны (151). 19.5. Искажения расстояний при экспоненциальном отображении (153).
§ 20. Римановы многообразия неположительной кривизны 154
20.1. Теорема Картана—Адамара (154). 20.2. Фундаментальная группа многообразий неположительной кривизны (157).
§ 21. Индексная форма 161
21.1. Индексная форма геодезической и вторая вариация энергии (161). 21.2. Индексная форма и поля Якоби (162). 21.3. Экстремальное свойство полей Якоби (164). 21.4. Индекс геодезической (168).
§ 22. Теоремы сравнения 168
22.1. Поля Якоби при ограниченной сверху кривизне (168). 22.2. Основная конструкция (170). 22.3. Теоремы Рауха и Берже (172). 22.4. Сравнение углов треугольников (178). 22.5. Сравнение объемов (184). 22.6. Теорема компактности Громова и пространства Александрова (187).
Глава 4. Теорема о сфере 191
§ 23. Элементы теории Морса 191
23.1. Функции Морса (191). 23.2. Пространство путей и его конечномерная аппроксимация (197).
§ 24. Радиус инъективности и множество раздела 201
24.1. Радиус инъективности(201). 24.2. Точка раздела вдоль геодезической и множество раздела (205). 24.3. Оценки радиуса инъективности снизу (207).
§ 25. Теорема о сфере 212
25.1. Теорема о сфере (212). 25.2. Обзор. Различные доказательства теоремы о сфере. Обобщения и родственные результаты (214).
Глава 5. Выпуклость 219
§ 26. Выпуклые множества 219
26.1. Различные типы выпуклости (219). 26.2. Выпуклые окрестности (220). 26.3. Строение выпуклого множества (222). 26.4. Расстояние до выпуклого множества (225).
§ 27. Вогнутые функции на многообразии 227
27.1. Выпуклые и вогнутые функции (227). 27.2. Вогнутые функции и выпуклые множества (228). 27.3. Оришары и функция Буземана (234). 27.4. Признак существования вогнутой функции (236). 27.5. Теорема о расщеплении (238).
§ 28. Многообразия, допускающие вогнутые функции 239
28.1. Строение многообразия, допускающего вогнутую функцию (239). 28.2. Открытые многообразия неотрицательной кривизны (243).
Глава 6. Однородные пространства 249
§ 29. Римановы метрики на группах Ли 250
29.1. Группы Ли (250). 29.2. Левоинвариантные поля и метрики (251). 29.3. Вспомогательные предложения (255). 29.4. Свойства биинвариантных метрик. Кривизна (256). 29.5. Алгебра Ли группы Ли (258). 29.6. Пример Берже (262).
§ 30. Римановы метрики на однородных пространствах 266
30.1. Однородные пространства (266). 30.2. Примеры (268). 30.3. Сдвиги (272). 30.4. Инвариантные метрики (273). 30.5. Римановы однородные пространства (274). 30.6. Признаки существования инвариантных метрик (277). 30.7. Кривизны римановых однородных пространств (279). 30.8. Подъем метрики с однородного пространства на исходную группу (285).
§31. Симметрические пространства 289
31.1. Симметрические пространства (289). 31.2. Локально-симметрические многообразия (290). 31.3. Трансвекции (293). 31.4. Характеризация симметрических пространств среди однородных (295).
§ 32. Путеводитель по литературе 300
32.1. Учебники и обзоры (300). 32.2. Многообразия с кривизнами, не меняющими знака (300). 32.3. Теоремы о конечности и коллапс (303). 32.4. Пространства Александрова (303).
Литература 305
Предметный указатель 311