Талеб Нассим - Статистические последствия жирных хвостов. О новых вычислительных подходах к принятию решений [2024, PDF, RUS]

1. Пролог*† ...................................................................................................................................15
ЗАМЕЧАНИЕ О ТЕРМИНАХ .............................................................................................................. 17
БЛАГОДАРНОСТИ .......................................................................................................................... 17
2. ГЛОССАРИЙ, ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ..........................................................................19
2.1. ОБЩИЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЧАСТО ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ СИМВОЛЫ .............................................. 19
2.2. Систематический каталог общих и идиосинкразических понятий ..................................... 22
2.2.1. Класс степенного закона 𝔓 .................................................................................................22
2.2.2. Закон больших чисел (слабый) ...........................................................................................23
2.2.3. Центральная предельная теорема (ЦПТ) ........................................................................... 23
2.2.4. Закон средних чисел, или Предасимптотика ..................................................................... 24
2.2.5. Показатель каппа ............................................................................................................... 24
2.2.6. Эллиптическое распределение ............................................................................................25
2.2.7. Статистическая независимость ...........................................................................................25
2.2.8. Устойчивое распределение (устойчивое по Леви) ............................................................ 25
2.2.9. Многомерное устойчивое распределение .......................................................................... 26
2.2.10. Точка Караматы ................................................................................................................. 26
2.2.11. Субэкспоненциальность ....................................................................................................26
2.2.12. t-распределение Стьюдента как прокси .......................................................................... 27
2.2.13. Круг цитирования............................................................................................................... 27
2.2.14. Погоня за рентой в научном мире..................................................................................... 28
2.2.15. Псевдоэмпиризм, или Проблема Пинкера ........................................................................ 28
2.2.16. Предасимптотика................................................................................................................ 29
2.2.17. Стохастизация ................................................................................................................... 29
2.2.18. Стоимость под риском, условная стоимость под риском .................................................. 30
2.2.19. Своя шкура на кону ........................................................................................................... 30
2.2.20. График MS .......................................................................................................................... 31
2.2.21. Максимальный аттрактор (MDA) ........................................................................................ 31
2.2.22. Подмена интеграла в литературе для психологов ........................................................... 31
2.2.23. Попытка вынести вероятность за скобку (еще одна типичная ошибка) ........................ 32
2.2.24. Линейка Витгенштейна ..................................................................................................... 32
2.2.25. Черные лебеди .................................................................................................................. 32
2.2.26. Выборочная функция распределения ненаблюдаема эмпирически .............................. 33
2.2.27. Скрытый хвост ................................................................................................................... 34
2.2.28. Теневой момент ................................................................................................................. 35
2.2.29. Зависимость в хвосте ......................................................................................................... 35
2.2.30. Метавероятность ............................................................................................................... 35
2.2.31. Динамическое хеджирование ........................................................................................... 35
Часть I. ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ И ИХ ПОСЛЕДСТВИЯ, ЗНАКОМСТВО
3. НЕТЕХНИЧЕСКИЙ ОБЗОР — ЛЕКЦИЯ В КОЛЛЕДЖЕ ДАРВИНА*‡ .................................................39
3.1. О РАЗЛИЧИИ МЕЖДУ ТОНКИМ И ЖИРНЫМ ХВОСТОМ ............................................................. 39
3.2. ХВОСТ, ВИЛЯЮЩИЙ СОБАКАМИ: ИНТУИТИВНО ...................................................................... 44
3.3. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КАТЕГОРИИ И ЧТО ИЗ НИХ СЛЕДУЕТ ....................................................... 44
3.4. ОСНОВНЫЕ СЛЕДСТВИЯ И КАК ОНИ СВЯЗАНЫ С ДАННОЙ КНИГОЙ ........................................ 49
3.4.1. Прогнозирование ................................................................................................................ 60
3.4.2. Закон больших чисел ........................................................................................................... 61
3.5. ЭПИСТЕМОЛОГИЯ И ДЕДУКТИВНАЯ АСИММЕТРИЯ .................................................................. 64
3.6. НАИВНЫЙ ЭМПИРИЗМ: НЕ НАДО СРАВНИВАТЬ ЭБОЛУ
И ПАДЕНИЯ СО СТРЕМЯНОК............................................................................................................ 69
3.6.1. Как изменяется масштаб некоторых мультипликативных рисков ...................................... 73
3.7. АЗБУКА СТЕПЕННЫХ ЗАКОНОВ (ПОЧТИ БЕЗ МАТЕМАТИКИ) ..................................................... 74
3.8. ГДЕ ПРЯЧУТСЯ СКРЫТЫЕ СВОЙСТВА? ..................................................................................... 77
3.9. БАЙЕСА-ШМАЙЕСА ................................................................................................................... 81
3.10. X И F(X): КАК ПУТАЮТ ВОЗДЕЙСТВИЕ ВЕЛИЧИНЫ X
С САМОЙ ВЕЛИЧИНОЙ X .................................................................................................................82
3.11. РАЗОРЕНИЕ И ЗАВИСИМОСТЬ ОТ ПУТИ ................................................................................. 86
3.12. ЧТО ДЕЛАТЬ? ........................................................................................................................ 89
4. ОДНОМЕРНЫЕ ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ УРОВНЯ 1, С КОНЕЧНЫМИ МОМЕНТАМИ † ............................91
4.1. ПРОСТАЯ ЭВРИСТИКА, КАК СОЗДАВАТЬ СЛЕГКА ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ ....................................... 91
4.1.1. Эвристика, сохраняющая дисперсию .................................................................................94
4.1.2. Ужирнение хвостов при помощи асимметричной дисперсии ........................................... 95
4.2. СПОСОБНА ЛИ СТОХАСТИЧЕСКАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ ГЕНЕРИРОВАТЬ
СТЕПЕННЫЕ ЗАКОНЫ? .................................................................................................................. 98
4.3. ТУЛОВИЩЕ, ПЛЕЧИ И ХВОСТЫ .............................................................................................. 99
4.3.1. Точки перехода и туннельный эффект. ........................................................................... 99
4.4. ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ, СРЕДНЕЕ ОТКЛОНЕНИЕ И ПОВЫШАЮЩИЕСЯ НОРМЫ ........................... 103
4.4.1. Обычные ошибки ............................................................................................................... 103
4.4.2. Немного аналитики ........................................................................................................... 105
4.4.3. Влияние жирных хвостов на «эффективность» STD против MAD ................................... 108
4.4.4. Моменты и неравенство о средних разной степени ........................................................ 109
4.4.5. Комментарий: почему среднеквадратическое отклонение нужно отправить
в отставку, и немедленно! .......................................................................................................... 112
4.5. ВИЗУАЛИЗИРУЕМ, КАК РОСТ p ВЛИЯЕТ НА ИЗО-НОРМЫ ....................................................... 115
5. УРОВЕНЬ 2: СУБЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ И СТЕПЕННЫЕ ЗАКОНЫ ..............................................118
5.0.1. Вернемся к ранжированию .............................................................................................. 118
5.0.2. Что такое пограничное распределение вероятностей? ................................................ 120
5.0.3. Давайте выдумаем распределение .................................................................................. 121
5.1. УРОВЕНЬ 3: МАСШТАБИРУЕМОСТЬ И СТЕПЕННЫЕ ЗАКОНЫ ................................................. 123
5.1.1. Масштабируемое и немасштабируемое — более глубокий взгляд
на жирные хвосты ........................................................................................................................123
5.1.2. Серые лебеди ................................................................................................................... 126
5.2. НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СТЕПЕННЫХ ЗАКОНОВ ................................................................... 126
5.2.1. Сумма случайных величин ................................................................................................ 126
5.2.2. Преобразования ............................................................................................................... 127
5.3. КОЛОКОЛООБРАЗНЫЕ И ДРУГИЕ СТЕПЕННЫЕ ЗАКОНЫ ...................................................... 128
5.4. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ СТЕПЕННЫХ ЗАКОНОВ: ПРИМЕР ........................... 129
5.5. СВЕРХЖИРНЫЕ ХВОСТЫ: РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЛОГ-ПАРЕТО ................................................... 130
5.6. ПСЕВДОСТОХАСТИЧЕСКАЯ ВОЛАТИЛЬНОСТЬ: РАССЛЕДОВАНИЕ ....................................... 131
6. ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ В ВЫСШИХ РАЗМЕРНОСТЯХ†......................................................................134
6.1. ТОЛСТЫЕ ХВОСТЫ ПРИ ВЫСОКОЙ РАЗМЕРНОСТИ, КОНЕЧНЫЕ МОМЕНТЫ ......................... 134
6.2. СОВМЕСТНАЯ ЖИРНОХВОСТОСТЬ И ЭЛЛИПТИЧНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ .......................... 135
6.3. МНОГОМЕРНОЕ t-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА ................................................................. 140
6.3.1. Эллиптичность и независимость при толстых хвостах..................................................... 140
6.4. ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ И ВЗАИМНАЯ ИНФОРМАЦИЯ .................................................................... 141
6.5. ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ И СЛУЧАЙНЫЕ МАТРИЦЫ, КРАТКОЕ ОТСТУПЛЕНИЕ ................................ 142
6.6. КОРРЕЛЯЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННАЯ ДИСПЕРСИЯ .................................................................. 143
6.7. ЖИРНОХВОСТЫЕ ОСТАТКИ В МОДЕЛЯХ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ ........................................ 144
A. ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ТОЛСТЫХ ХВОСТОВ .....................................................................................149
A.1. МУЛЬТИМОДАЛЬНОСТЬ И ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ, ИЛИ
МОДЕЛЬ ВОЙНЫ И МИРА ............................................................................................................. 149
A.2. ПЕРЕХОДНЫЕ ВЕРОЯТНОСТИ: ЧТО МОЖЕТ РАЗБИТЬСЯ, РАЗОБЬЕТСЯ ................................ 152
Часть II. ЗАКОН СРЕДНИХ ЧИСЕЛ
7. ПРЕДЕЛЬНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, КОНСОЛИДАЦИЯ*† ..............................................................157
7.1. НАПОМИНАНИЕ: СЛАБЫЙ И СИЛЬНЫЙ ЗБЧ .......................................................................... 157
7.2. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ В ДЕЙСТВИИ ....................................................................................159
7.2.1. Устойчивое распределение ............................................................................................. 160
7.2.2. Закон больших чисел для устойчивого распределения .................................................. 160
7.3. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ ЦПТ: НАГЛЯДНЫЕ ОПЫТЫ ........................................................... 161
7.3.1. Быстрая сходимость: равномерное распределение ........................................................ 161
7.3.2. Полузамедленная сходимость: экспоненциальные распределения ............................... 162
7.3.3. Медленный Парето ........................................................................................................... 163
7.3.4. Полукубический Парето и его область сходимости ........................................................ 165
7.4. КУМУЛЯНТЫ И СХОДИМОСТЬ ............................................................................................... 166
7.5. ПОВТОРИМ ТЕХНИКУ: ТРАДИЦИОННЫЕ ВЕРСИИ ЦПТ .......................................................... 169
7.6. ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ ДЛЯ ВЫСШИХ МОМЕНТОВ ........................................................... 170
7.6.1. Высшие моменты ............................................................................................................... 170
7.7. СРЕДНЕЕ ОТКЛОНЕНИЕ ДЛЯ УСТОЙЧИВЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ............................................. 173
8. СКОЛЬКО НУЖНО ДАННЫХ? РАБОЧИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ЖИРНОХВОСТОСТИ ‡ ...........................175
8.1. ВВЕДЕНИЕ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ .................................................................................................176
8.2. ПОКАЗАТЕЛЬ КАППА ............................................................................................................. 178
8.3. УСТОЙЧИВЫЙ БАССЕЙН СХОДИМОСТИ КАК ТОЧКА ОТСЧЕТА ............................................. 179
8.3.1. Эквиваленты устойчивых распределений ....................................................................... 180
8.3.2. Практическая значимость при достаточной выборке ..................................................... 182
8.4. ТЕХНИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ ................................................................................................... 184
8.4.1. Некоторые странности асимметричных распределений ................................................. 184
8.4.2. Скорость сходимости t-распределения Стьюдента к гауссову бассейну ....................... 184
8.4.3. Логнормальный хвост — ни тонкий, ни жирный .............................................................. 185
8.4.4. Возможна ли отрицательная каппа? ............................................................................... 185
8.5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И СЛЕДСТВИЯ ................................................................................................ 185
8.5.1. Портфельная псевдостабилизация ...................................................................................186
8.5.2. Другие аспекты статистических выводов .........................................................................187
8.5.3. Последний комментарий ................................................................................................... 187
8.6. ПРИЛОЖЕНИЕ, ВЫВОД ФОРМУЛ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ............................................................ 187
8.6.1. Кубическое t-распределение Стьюдента (гауссов бассейн) ........................................... 187
8.6.2. Логнормальные суммы ........................................................................................................ 190
8.6.3. Экспоненциальное распределение ................................................................................... 193
8.6.4. Отрицательная каппа, отрицательный эксцесс ............................................................... 193
9. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СКРЫТЫЕ ХВОСТЫ*‡ ...............................................................195
9.1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ВСТУПЛЕНИЕ К ТЭЗ ............................................................................... 197
9.1.1. Любой хвост степенного закона ведет к Фреше ............................................................. 198
9.1.2. Гауссов случай .................................................................................................................... 200
9.1.3. Теорема Пикэндса — Балкемы — де Гаана ....................................................................... 202
9.2. НЕВИДИМЫЙ ХВОСТ ПРИ СТЕПЕННОМ ЗАКОНЕ ..................................................................... 202
9.2.1. Сравнение с нормальным распределением ...................................................................... 205
9.3. ПРИЛОЖЕНИЕ: ЭМПИРИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НЕ ЭМПИРИЧНО .................................... 205
B. СКОРОСТЬ РОСТА И РЕЗУЛЬТАТ ПРИНАДЛЕЖАТ РАЗНЫМ КЛАССАМ
РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ...........................................................................................................................207
B.1. ЗАГАДКА ................................................................................................................................. 207
B.2. У ПАНДЕМИЙ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНО ЖИРНЫЕ ХВОСТЫ............................................................... 209
C. ПРИНЦИП БОЛЬШОГО ОТКЛОНЕНИЯ, ВКРАТЦЕ ........................................................................211
Простой случай: оценка Чернова................................................................................................ 212
D. КАЛИБРОВКА В СИТУАЦИИ ПАРЕТО ...........................................................................................214
D.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРОЧНОЙ ОЦЕНКИ ПОКАЗАТЕЛЯ ХВОСТА .......................................... 216
10. ПЕЧАЛЬНО, НО ФАКТ: ДИАГНОСТИКА S&P 500 ‡ ....................................................................219
10.1. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ КЛАССУ ПАРЕТО И МОМЕНТЫ ............................................................. 219
10.2. КРИТЕРИИ СХОДИМОСТИ .................................................................................................... 221
10.2.1. Критерий 1: эксцесс при агрегации ............................................................................... 221
10.2.2. Максимальные падения ................................................................................................... 222
10.2.3. Эмпирическая каппа ........................................................................................................ 224
10.2.4. Проверка 2: условное математическое ожидание избытка .......................................... 225
10.2.5. Проверка 3: неустойчивость 4-го момента .................................................................... 227
10.2.6. Проверка 4: график MS.................................................................................................... 227
10.2.7. Рекорды и экстремальные значения ...............................................................................228
10.2.8. Асимметричность хвостов справа и слева ...................................................................... 231
10.3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ: ПЕЧАЛЬНО, НО ФАКТ ................................................................................... 233
E. ПРОБЛЕМА С ЭКОНОМЕТРИКОЙ ................................................................................................234
E.1. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СТАНДАРТНЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК РИСКА ............................... 235
E.2. ЭФФЕКТИВНОСТЬ СТАНДАРТНЫХ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИХ ОЦЕНОК РИСКА ........................... 238
F. ОСОБЕННОСТИ МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ ...................................................................................242
F.0.1. Калибровка по углам ............................................................................................................245
Часть III. ПРЕДСКАЗАНИЯ, ПРОГНОЗЫ И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ
11. КАЛИБРОВКА ВЕРОЯТНОСТИ ПРИ ЖИРНЫХ ХВОСТАХ ‡ ...........................................................249
11.1. Непрерывные и дискретные платежные функции: определения и комментарии ............ 250
11.1.1. Отходим от словесных формулировок .............................................................................. 251
11.1.2. При жирных хвостах нет стандартной величины «коллапса»,
«катастрофы» или «успеха» ........................................................................................................ 255
11.2. МНИМАЯ ПЕРЕОЦЕНКА ХВОСТОВОЙ ВЕРОЯТНОСТИ В ПСИХОЛОГИИ .................................. 257
11.2.1. Тонкие хвосты................................................................................................................... 258
11.2.2. Жирные хвосты ................................................................................................................258
11.2.3. Что с чем путают .............................................................................................................. 259
11.2.4. Неопределенность распределения .................................................................................. 263
11.3. КАЛИБРОВКА И МНИМАЯ КАЛИБРОВКА ................................................................................. 264
11.4. ПОКАЗАТЕЛИ ДЛЯ КОЛИЧЕСТВЕННОЙ ОЦЕНКИ .................................................................... 264
11.4.1. Вывод распределений ...................................................................................................... 267
11.5. НЕВЕРБАЛЬНЫЕ ПЛАТЕЖНЫЕ ФУНКЦИИ И МАШИННОЕ ОБУЧЕНИЕ .................................... 269
11.6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..........................................................................................................................271
11.7. ПРИЛОЖЕНИЕ: ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ВЫВОД ФОРМУЛ ......................................................... 272
11.7.1. Распределение подсчета пари ........................................................................................ 272
11.7.2. Распределение оценки Брайера .......................................................................................272
12. ПРЕДСКАЗАНИЯ ВЫБОРОВ КАК МАРТИНГАЛ: АРБИТРАЖНЫЙ ПОДХОД ‡ ................................276
12.0.1. Основные результаты .......................................................................................................278
12.0.2. Организация ..................................................................................................................... 279
12.0.3. Обсуждение нейтральности к риску .............................................................................. 281
12.1. СТОИМОСТЬ В СТИЛЕ БАШЕЛЬЕ ......................................................................................... 281
12.2. ОГРАНИЧЕННЫЙ ДВОЙСТВЕННЫЙ МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПРОЦЕСС ........................................ 283
12.3. СВЯЗЬ С ОЦЕНЩИКОМ ВЕРОЯТНОСТИ ДЕ ФИНЕТТИ .......................................................... 285
12.4. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И КОММЕНТАРИИ ........................................................................................... 286
ПРИЛОЖЕНИЕ: ВСЕ ДОРОГИ ВЕДУТ К ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ ............................................ 287
Некорректные претензии .............................................................................................................287
Неправильная арбитражная стоимость ...................................................................................... 287
Арбитражные вопросы ................................................................................................................ 288
БЛАГОДАРНОСТИ ...........................................................................................................................290
Часть IV. ОЦЕНОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ПРИ ЖИРНЫХ ХВОСТАХ
13. ОЦЕНКА ДЖИНИ ПРИ БЕСКОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИИ ‡ ..............................................................293
13.1. ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................... 293
13.2. АСИМПТОТИКИ НЕПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ОЦЕНКИ
ПРИ БЕСКОНЕЧНОЙ ДИСПЕРСИИ ............................................................................................... 297
13.2.1. Краткое повторение α-устойчивых случайных величин .............................................. 299
13.2.2. α-устойчивый асимптотический предел индекса Джини ............................................. 300
13.3. ОЦЕНКА МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ .................................................................. 301
13.4. ИЛЛЮСТРАЦИЯ С РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПАРЕТО .................................................................. 302
13.5. ПОПРАВКА НА МАЛУЮ ВЫБОРКУ ........................................................................................304
13.6. ВЫВОДЫ ............................................................................................................................ 308
Доказательство Теоремы 1 ....................................................................................................... 310
14. СУПЕРАДДИТИВНОСТЬ И СМЕЩЕННЫЕ ОЦЕНКИ ВКЛАДА КВАНТИЛЕЙ ‡ a ..........................315
14.1. ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................................... 315
14.2. ОЦЕНКА ДЛЯ НЕСМЕШАННЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С ХВОСТОМ ПАРЕТО ............................ 317
14.2.1. Смещение и сходимость ............................................................................................... 317
14.3. НЕРАВЕНСТВО АГРЕГАЦИИ НЕРАВЕНСТВ ......................................................................... 320
14.4. СМЕШАННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПО ПОКАЗАТЕЛЮ ХВОСТА .............................................. 323
14.5. ЧЕМ БОЛЬШЕ СУММА, ТЕМ ВЫШЕ .................................................................................... 326
14.6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ТОЧНАЯ ОЦЕНКА КОНЦЕНТРАЦИИ .......................................................... 326
14.6.1. Робастные методы и использование полных данных .................................................. 327
14.6.2. Как правильно оценивать концентрацию? ................................................................. 327
Часть V. СТАТЬИ О ТЕНЕВЫХ МОМЕНТАХ
15. ТЕНЕВЫЕ МОМЕНТЫ ЯВЛЕНИЙ С МНИМО БЕСКОНЕЧНЫМ СРЕДНИМ ‡ .................................331
15.1. ВВЕДЕНИЕ ......................................................................................................................... 331
15.2. ДВОЙСТВЕННОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ .....................................................................................332
15.3. ВЕРНЕМСЯ К Y: ТЕНЕВОЕ СРЕДНЕЕ, ИЛИ
СРЕДНЕЕ ПО ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ ..............................................................................334
15.4. СРАВНЕНИЕ С ДРУГИМИ МЕТОДАМИ ................................................................................... 337
15.5. ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ....................................................................................................... 338
16. О ХВОСТОВОМ РИСКЕ ОСТРОГО КОНФЛИКТА (СОВМЕСТНО С П. ЧИРИЛЛО)‡ .......................340
16.1. ВВЕДЕНИЕ И РЕЗЮМЕ ........................................................................................................... 340
16.2. ОБЗОР СТАТИСТИЧЕСКОЙ ДИСКУССИИ ................................................................................ 343
16.2.1. Результаты ......................................................................................................................... 343
16.2.2. Заключение ....................................................................................................................... 345
16.3. ОБСУЖДЕНИЕ МЕТОДОВ ...................................................................................................... 345
16.3.1. Метод масштабирования .................................................................................................345
16.3.2. Условное математическое ожидание (в нестрогом изложении) .................................. 347
16.3.3. Надежность данных и влияние на хвостовые оценки .................................................. 347
16.3.4. Определение «события» .................................................................................................. 349
16.3.5. Пропущенные события .................................................................................................... 349
16.3.6. Систематическая ошибка выжившего ............................................................................ 350
16.4. АНАЛИЗ ДАННЫХ ................................................................................................................... 350
16.4.1. Превышения над порогом ...............................................................................................350
16.4.2. Интервалы во временных рядах и автокорреляция....................................................... 351
16.4.3. Анализ хвоста ................................................................................................................... 352
16.4.4. Альтернативный взгляд на максимумы .......................................................................... 354
16.4.5. Анализ полных данных ................................................................................................... 355
16.5. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕСТЫ РОБАСТНОСТИ И НАДЕЖНОСТИ ............................................. 356
16.5.1. Бутстрэп для GPD ............................................................................................................ 356
16.5.2. Внесение возмущений в границы оценок ...................................................................... 357
16.6. ЗАКЛЮЧЕНИЕ: МИР ОПАСНЕЕ, ЧЕМ КАЖЕТСЯ? ................................................................... 358
16.7. БЛАГОДАРНОСТИ ................................................................................................................. 359
G. КАКОВА ВЕРОЯТНОСТЬ ТРЕТЬЕЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ?*† ...........................................................360
Часть VI. СТАТЬИ О МЕТАВЕРОЯТНОСТИ
17. КАК ТОЛСТЫЕ ХВОСТЫ ВОЗНИКАЮТ ИЗ РЕКУРСИВНОЙ ЭПИСТЕМОЛОГИЧЕСКОЙ
НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ† .................................................................................................................367
17.1. МЕТОДЫ И ВЫКЛАДКИ ......................................................................................................... 368
17.1.1. Уровни неопределенности ...............................................................................................368
17.1.2. Интегралы высоких порядков в стандартном гауссовом случае ................................... 369
РЕЖИМ 1 (ВЗРЫВНОЙ): СЛУЧАЙ ПОСТОЯННОГО ПАРАМЕТРА a .................................................. 372
17.1.3. Влияние на малые вероятности ...................................................................................... 374
17.2. РЕЖИМ 2: СЛУЧАИ ЗАТУХАЮЩИХ ПАРАМЕТРОВ an ........................................................... 375
17.2.1. Режим 2-a; «потери» погрешности высокого порядка.................................................. 375
17.2.2. Режим 2-b; второй метод, немультипликативная погрешность ................................... 376
17.3. ПРЕДЕЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ .......................................................................................... 376
18. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ПОКАЗАТЕЛЬ ХВОСТА ПРИ АСИММЕТРИЧНЫХ СТЕПЕННЫХ
ЗАКОНАХ † ..................................................................................................................................... 377
18.1. ИСТОРИЯ ВОПРОСА ............................................................................................................... 378
18.2. ОДНОХВОСТЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СО СТОХАСТИЧЕСКОЙ АЛЬФОЙ ..................................... 378
18.2.1. Общие случаи ................................................................................................................... 378
18.2.2. Неравенство стохастической альфы ............................................................................... 379
18.2.3. Аппроксимации для класса 𝔓 ...........................................................................................381
18.3. СУММЫ СТЕПЕННЫХ ЗАКОНОВ ...........................................................................................381
18.4. АСИММЕТРИЧНЫЕ УСТОЙЧИВЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ .......................................................... 382
18.5. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРЕТО С ЛОГНОРМАЛЬНЫМ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ АЛЬФЫ .................... 383
18.6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРЕТО С ГАММА-РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ АЛЬФЫ ...................................... 384
18.7. ОГРАНИЧЕННЫЙ СТЕПЕННОЙ ЗАКОН В РАБОТЕ ЧИРИЛЛО И ТАЛЕБА (2016) ................... 385
18.8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ КОММЕНТАРИИ ...................................................................................386
18.9. БЛАГОДАРНОСТИ ............................................................................................................... 386
19. МЕТАРАСПРЕДЕЛЕНИЕ p-ЗНАЧЕНИЙ И p-ХАКИНГ ‡ ...............................................................387
19.1. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА И ВЫВОД ФОРМУЛ ............................................................................... 389
19.2. ОБРАТНАЯ МОЩНОСТЬ ТЕСТА ........................................................................................... 393
19.3. ПРИЛОЖЕНИЕ И ВЫВОДЫ ...................................................................................................394
БЛАГОДАРНОСТИ ........................................................................................................................ 395
H. НЕКОТОРЫЕ НЕДОРАЗУМЕНИЯ В ПОВЕДЕНЧЕСКОЙ ЭКОНОМИКЕ .......................................... 396
H.1. ПРИМЕР ИССЛЕДОВАНИЯ: ЛОЖНАЯ СПЕЦИФИКАЦИЯ БЛИЗОРУКОЙ БОЯЗНИ
ПОТЕРЬ ........................................................................................................................................ 396
Часть VII. ТОРГОВЛЯ ОПЦИОНАМИ И ЦЕНЫ ПРИ ЖИРНЫХ ХВОСТАХ
20. НЕУДАЧИ ФИНАНСОВОЙ ТЕОРИИ КАСАТЕЛЬНО ЦЕН ОПЦИОНОВ† .......................................403
20.1. БАШЕЛЬЕ, А НЕ БЛЭК — ШОУЛЗ......................................................................................... 404
20.1.1. Искажения из-за идеализации ....................................................................................... 405
20.1.2. Фактическая процедура репликации..............................................................................406
20.1.3. Провал: погрешность хеджирования может сделать модель непригодной. ............... 406
21. ЕДИНСТВЕННАЯ МЕРА ДЛЯ ЦЕН ОПЦИОНОВ (БЕЗ ДИНАМИЧЕСКОГО ХЕДЖИРО-
ВАНИЯ ИЛИ ПОЛНОГО РЫНКА)‡ .....................................................................................................407
21.1. ИСТОРИЯ ВОПРОСА ............................................................................................................... 407
21.2. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ..................................................................................................................410
21.2.1. Случай 1: форвард как мера, нейтральная к риску ....................................................... 410
21.2.2. Вывод формул ................................................................................................................... 411
21.3. СЛУЧАЙ ФОРВАРДА БЕЗ НЕЙТРАЛЬНОСТИ К РИСКУ .............................................................. 413
21.4. КОММЕНТАРИЙ ....................................................................................................................... 413
22. ТОРГОВЦЫ ОПЦИОНАМИ НЕ ПОЛЬЗУЮТСЯ ФОРМУЛОЙ БЛЭКА — ШОУЛЗА —
МЕРТОНА*‡ .....................................................................................................................................415
22.1. ПРЕРЫВАНИЕ ЦЕПИ ПЕРЕДАЧИ ............................................................................................. 415
22.2. ВВЕДЕНИЕ И РЕЗЮМЕ ........................................................................................................... 416
22.2.1. Теория Блэка — Шоулза была аргументом в дискуссии .................................................. 416
22.3. МИФ 1: ТРЕЙДЕРЫ НЕ ЗАДАВАЛИ ЦЕНЫ ОПЦИОНАМ ДО БШМ ........................................... 420
22.4. МЕТОДЫ И ВЫВОД ФОРМУЛ ............................................................................................... 421
22.4.1. Формулы опционов и дельта-хеджирование ................................................................. 424
22.5. МИФ 2: СОВРЕМЕННЫЕ ТРЕЙДЕРЫ ПОЛЬЗУЮТСЯ БЛЭКОМ — ШОУЛЗОМ .......................... 425
22.5.1. Когда мы оцениваем стоимость? .................................................................................... 426
22.6. О МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НЕВОЗМОЖНОСТИ ДИНАМИЧЕСКОГО
ХЕДЖИРОВАНИЯ .......................................................................................................................... 426
22.6.1. Сбивающая с толку робастность гауссианы .................................................................. 428
22.6.2. Поток заказов и опционы ................................................................................................429
22.6.3. Башелье — Торп ...............................................................................................................430
23. ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОПЦИОНОВ ПРИ СТЕПЕННЫХ ЗАКОНАХ:
РОБАСТНАЯ ЭВРИСТИКА*‡ ............................................................................................................431
23.1. ВВЕДЕНИЕ ........................................................................................................................... 432
23.2. ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ «КОЛЛОВ» ЗА КОНСТАНТОЙ КАРАМАТЫ ............................................ 432
23.2.1. Первый подход, S в классе правильно меняющихся функций ....................................... 432
23.2.2. Второй подход, геометрическая доходность от S в классе правильно меняющихся
функций ....................................................................................................................................... 434
23.3. ЦЕНЫ ОПЦИОНОВ «ПУТ» ..................................................................................................... 437
23.4. ГРАНИЦЫ АРБИТРАЖА ......................................................................................................... 438
23.5. КОММЕНТАРИИ .................................................................................................................... 438
24. ЧЕТЫРЕ ОШИБКИ В ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ*‡ ...............................................................439
24.1. ПУТАНИЦА МЕЖДУ ВТОРЫМ И ЧЕТВЕРТЫМ МОМЕНТАМИ ................................................... 439
24.2. НЕУЧЕТ НЕРАВЕНСТВА ЙЕНСЕНА ПРИ АНАЛИЗЕ ДОХОДНОСТИ ОПЦИОНОВ ...................... 440
24.3. НЕРАЗРЫВНАЯ СВЯЗЬ МЕЖДУ СТРАХОВКОЙ И ПРЕДМЕТОМ СТРАХОВАНИЯ ...................... 442
24.4. НЕОБХОДИМОСТЬ МАСШТАБА ЦЕН В ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКЕ .................................... 442
24.5. ПРИЛОЖЕНИЕ (СТАВКИ НА ХВОСТЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ) ..................................................... 443
25. ОГРАНИЧЕНИЯ ХВОСТОВОГО РИСКА И МАКСИМАЛЬНАЯ ЭНТРОПИЯ
(СОВМЕСТНО С Д. И Э. ЖИМАН)‡ .................................................................................................445
25.1. РИСК ЛЕВОГО ХВОСТА КАК ЦЕНТРАЛЬНОЕ ОГРАНИЧЕНИЕ ПОРТФЕЛЯ .............................. 445
25.1.1. Штанга с точки зрения Э. Т. Джейнса ............................................................................ 448
25.2. ВЕРНЕМСЯ К ЗАДАНИЮ СРЕДНЕГО И ДИСПЕРСИИ .............................................................. 449
25.2.1. Анализ ограничений ........................................................................................................ 450
25.3. ВЕРНЕМСЯ К ГАУССОВУ СЛУЧАЮ ....................................................................................... 450
25.3.1. Смесь двух нормальных распределений ........................................................................ 452
25.4. МАКСИМАЛЬНАЯ ЭНТРОПИЯ ................................................................................................ 453
25.4.1. Случай A: ограничиваем глобальное среднее ............................................................... 453
25.4.2. Случай B: ограничиваем абсолютное среднее .............................................................. 455
25.4.3. Случай C: степенные законы для правого хвоста ......................................................... 455
25.4.4. Расширение на несколько периодов: комментарий ...................................................... 457
25.5. КОММЕНТАРИИ И ЗАКЛЮЧЕНИЕ .......................................................................................... 458
25.6. ПРИЛОЖЕНИЕ / ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ......................................................................................458
ПЕРСОНАЛИИ ................................................................................................................................459
БИБЛИОГРАФИЯ ............................................................................................................................467