Элементарная математика: учебное пособие для СПО
Год издания: 2024
Автор: Райцин А. М.
Издательство: Лань
ISBN: 978-5-507-48065-4
Серия: Среднее профессиональное образование
Язык: Русский
Формат: PDF
Качество: Издательский макет или текст (eBook)
Количество страниц: 242
Описание: Основной целью предлагаемой читателю книги является восстановление и закрепление знаний по школьному курсу математики, в развитии навыков решений типовых задач. Книга состоит из 16 глав и содержит описание основных методов решения задач по алгебре, тригонометрии и началам математического анализа. Хотя книга и не является классическим учебником по математике, её практическая направленность позволяет достаточно быстро вспомнить и освоить необходимый объем знаний соответствующего раздела. Для этого в начале каждого нового раздела приводятся краткие теоретические сведения по рассматриваемому материалу. В каждой главе производится разбор типовых примеров и задач.
Данное пособие выгодно отличается от многих тем, что основное внимание в нем уделяется подробному описанию методов решения задач и их систематизации. Освоение предлагаемых читателю методов позволит создать или развить базу для решений задач высшей математики, что важно для дальнейшего обучения в высшей школе.
Данная книга может быть использована в качестве учебного пособия для слушателей подготовительных курсов, а также для самостоятельной подготовки к ЕГЭ.
Соответствует современным требованиям Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования и профессиональным квалификационным требованиям.
Примеры страниц (скриншоты)
Оглавление
ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ ..................................................... 3
ПРЕДИСЛОВИЕ ............................................................................................... 4
ГЛАВА 1. НАТУРАЛЬНЫЕ, ЦЕЛЫЕ, РАЦИОНАЛЬНЫЕ,
ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ И ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА.
МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ .................................................. 5
1.1. Натуральные числа N ........................................................................ 5
1.1.1. Простые и составные числа .................................................................... 5
1.1.2. Наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель ...................... 5
1.1.3. Признаки делимости ............................................................................... 6
1.1.4. Метод математической индукции ............................................................. 7
1.2. Целые числа (Z). ...................................................................................... 7
1.2.1. Деление с остатком ................................................................................ 7
1.3. Рациональные числа (Q) ........................................................................... 9
1.4. Иррациональные числа )I( ........................................................................ 9
1.5. Действительные числа )R ( ....................................................................... 10
1.5.1. Числовые промежутки ........................................................................... 10
1.6. Задачи с решениями ................................................................................ 10
1.7. Множества. Операции над множествами. Объединение
и пересечение множеств ................................................................................. 17
1.7.1. Объединение элементов двух множеств .................................................. 17
1.7.2. Объединение элементов трех множеств .................................................. 18
1.8. Задачи с решениями ................................................................................ 18
ГЛАВА 2. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ,
СОДЕРЖАЩИХ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ ......................................... 22
2.1. Модуль действительного числа или математического выражения ................ 22
2.2. Основные теоретические сведения об уравнениях ..................................... 22
2.2.1. Равносильность уравнений .................................................................... 22
2.2.2. Совокупность уравнений. Решение совокупности уравнений .................... 23
2.2.3. Уравнение — следствие. Посторонние корни уравнения.
Потеря корней уравнения .............................................................................. 24
2.3. Основные теоретические сведения о неравенствах ................................... 26
2.4. Методы решение уравнений, содержащих переменную
под знаком модуля ....................................................................................... 28
2.4.1. Теоремы освобождения от модуля ........................................................ 28
2.4.2. Метод разбиения на числовые промежутки ......................................... 29
2.4.3. Возведение обеих частей уравнения в квадрат .................................... 31
2.5. Методы решение неравенств, содержащих переменную
под знаком модуля ..................................................................................... 31
2.5.1. Теоремы освобождения от модуля ....................................................... 31
2.5.2. Метод разбиения на числовые промежутки ......................................... 32
2.5.3. Возведение обеих частей неравенства в квадрат ................................. 33
2.6. Анализ областей на плоскости, ограниченных прямыми .......................... 34
ГЛАВА 3. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ ................................................................... 36
3.1. Общие сведения о многочленах ............................................................. 36
3.1.1. Сложение и умножение многочленов ................................................... 36
3.1.2. Деление многочленов ......................................................................... 36
3.2. Разложение многочленов на множители.
Тождественные преобразования рациональных выражений ............................ 38
3.2.1. Использование корней многочлена ....................................................... 38
3.2.2. Применение формул сокращенного умножения ..................................... 40
3.2.3. Выделение полного квадрата ............................................................... 41
3.2.4. Замена переменной ............................................................................. 42
3.2.5. Упрощение выражений, содержащих знак модуля ............................... 42
3.3. Корень n-ой степени. Арифметический корень.
Тождественные преобразования иррациональных выражений ....................... 43
3.3.1. Формула вычисления сложного радикала ............................................ 45
3.3.2. Использование формул сокращенного умножения ............................. 46
3.3.3. Замена переменных ........................................................................ 47
3.3.4. Избавление от иррациональности в знаменателе дроби ..................... 50
ГЛАВА 4. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН.
ТЕОРЕМА ВИЕТА И ОБРАТНАЯ К НЕЙ.
КВАДРАТИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА.
ОСНОВНЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКОВ
ФУНКЦИЙ. ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
НА КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН ........................................................................... 51
4.1. Квадратичная функция ........................................................................... 51
4.2. Решение квадратичных неравенств .......................................................... 52
4.3. Применение теоремы Виета для решения задач ........................................ 56
4.4. Основные приемы построения графиков функций ..................................... 57
4.5. Задачи с параметрами на квадратный трехчлен.
Теоремы о расположении корней квадратного уравнения ................................. 60
ГЛАВА 5. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ...................................................................... 66
5.1. Методы решения рациональных уравнений ............................................... 66
5.1.1. Целые рациональные уравнения ............................................................ 67
5.1.2. Дробно-рациональные уравнения .......................................................... 73
5.2. Методы решения рациональных неравенств .............................................. 74
5.2.1. Решение рациональных неравенств методом интервалов ........................ 74
ГЛАВА 6. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ............................................ 78
6.1. Основные теоретические сведения ............................................................... 78
6.2. Основные методы решения систем уравнений ........................................... 80
6.3. Однородные системы уравнений .................................................................. 82
6.4. Симметрические системы.............................................................................. 84
6.5. Применение теоремы Виета для решения систем уравнений ....................... 86
ГЛАВА 7. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
И НЕРАВЕНСТВА. СИСТЕМЫ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ....................................................................................................... 88
7.1. Решение иррациональных уравнений и систем уравнений ....................... 88
7.1.1. Решение иррациональных уравнений методом
возведения обеих частей в одну и ту же степень ........................................... 88
7.1.2. Метод введения новых переменных ..................................................... 90
7.1.3. Использование свойств функций при решении
иррациональных уравнений ............................................................................. 92
7.1.4. Системы иррациональных уравнений ....................................................... 93
7.2. Решение иррациональных неравенств ......................................................... 95
7.2.1. Применение теорем равносильных преобразований ................................... 95
7.2.2. Решение иррациональных неравенств обобщенным
методом интервалов .......................................................................................... 98
ГЛАВА 8. ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ НА СОСТАВЛЕНИЕ
УРАВНЕНИЙ ...................................................................................................... 103
8.1. Задачи на движение объектов ..................................................................... 103
8.1.1. Шаблон 1 ................................................................................................ 103
8.1.2. Шаблон 2 ................................................................................................ 104
8.1.3. Шаблон 3 ................................................................................................ 104
8.1.4. Шаблон 4 ................................................................................................ 104
8.2. Задачи на совместную работу ..................................................................... 109
8.3. Задачи на смеси и сплавы. Задачи, связанные
с понятием процента ........................................................................................ 111
8.4. Задачи на числовые зависимости ................................................................ 115
ГЛАВА 9. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИИ .................................................................................................... 117
9.1. Арифметическая прогрессия ....................................................................... 117
9.2. Геометрическая прогрессия ........................................................................ 118
9.3. Решение задач на прогрессии ..................................................................... 119
ГЛАВА 10. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ,
СОДЕРЖАЩИХ ЛОГАРИФМЫ ............................................................................. 125
10.1. Основные теоретические сведения ........................................................... 125
10.1.1. Показательная и логарифмическая функции
и их графики .................................................................................................. 125
10.1.2. Основные свойства степеней и логарифмов ............................................ 126
10.2. Решение примеров .................................................................................. 128
ГЛАВА 11. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
УРАВНЕНИЯ. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ И ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ
НЕРАВЕНСТВА ................................................................................................. 133
11.1. Показательные и логарифмические уравнения ....................................... 133
11.1.1. Методы решения показательных уравнений ...................................... 133
11.1.2. Показательно-степенные уравнения ................................................. 136
11.1.3. Методы решения логарифмических уравнений ................................... 137
11.1.4. Системы показательных и логарифмических уравнений ....................... 142
11.2. Показательные и логарифмические неравенства .................................... 143
ГЛАВА 12. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ВЫРАЖЕНИЙ ................................................................................................... 150
12.1. Общие теоретические сведения ................................................................ 150
12.1.1. Определение тригонометрических функций
произвольного угла ......................................................................................... 150
12.1.2. Измерение углов и дуг ........................................................................ 151
12.1.3. Таблица значений тригонометрических функций
некоторых углов .............................................................................................. 152
12.1.4. Знаки тригонометрических функций ................................................ 154
12.1.5. Четность и нечетность тригонометрических функций ........................ 155
12.1.6. Периодичность тригонометрических функций .................................. 155
12.1.7. Графики тригонометрических функций ........................................... 156
12.1.8. Формулы приведения .......................................................................... 157
12.1.9. Основные соотношения между
тригонометрическими функциями ................................................................ 158
12.2. Доказательство тригонометрических тождеств ...................................... 159
12.3. Вычисление и преобразование
тригонометрических выражений ....................................................................... 162
ГЛАВА 13. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ .............................. 165
13.1. Обратная функция и ее график ................................................................. 165
13.2. Определение обратных тригонометрических функций ......................... 167
13.3. Доказательство тождеств и преобразование выражений
с обратными тригонометрическими функциями ............................................. 171
13.4. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции............................................................................ 176
13.4.1. Простейшие уравнения ....................................................................... 176
13.4.2. Решение уравнений методом анализа области
допустимых значений ..................................................................................... 176
13.4.3. Уравнения, сводящиеся к уравнениям
относительно некоторой функции одного и того же аргумента ......................... 178
13.4.4. Общий метод решения ........................................................................ 178
ГЛАВА 14. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ,
СИСТЕМЫ И НЕРАВЕНСТВА ........................................................................... 181
14.1. Тригонометрические уравнения ............................................................... 181
14.1.1. Простейшие тригонометрические уравнения ....................................... 181
14.1.2. Объединение и пересечение решений
тригонометрических уравнений .................................................................... 183
14.1.3. Разложение на множители.................................................................. 185
14.1.4. Приведение всех тригонометрических функций
к одной функции одного аргумента .............................................................. 185
14.1.5. Применение формул преобразования
произведения в сумму ..................................................................................... 186
14.1.6. Применение формул преобразования
суммы в произведение .................................................................................... 186
14.1.7. Метод понижения степени ................................................................. 187
14.1.8. Однородные уравнения и уравнения
приводящиеся к однородным ......................................................................... 188
14.1.9. Введение вспомогательного угла ...................................................... 189
14.1.10. Метод замены неизвестного ............................................................. 191
14.1.11. Решение уравнений с учетом ограниченности
функций sin x и cos x .................................................................................. 195
14.1.12. Комбинированные уравнения .......................................................... 196
14.2. Системы тригонометрических уравнений ............................................... 197
14.3. Простейшие тригонометрические неравенства ...................................... 201
ГЛАВА 15. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ................................. 204
15.1. Определение производной. Уравнение касательной .............................. 204
15.2. Вычисление производной ..................................................................... 205
15.3. Монотонность и экстремумы функций .................................................... 206
15.4. Наибольшее и наименьшее значения функции ....................................... 209
15.5. Текстовые экстремальные задачи ............................................................. 210
15.6. Построение графиков функций ................................................................. 212
15.7. Задачи, связанные с уравнением касательной к функции .......................... 214
ГЛАВА 16. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
С ПАРАМЕТРАМИ .............................................................................................. 218
16.1. Общие положения .................................................................................... 218
16.2. Линейные уравнения с параметрами ........................................................ 220
16.3. Квадратичные уравнения с параметрами ................................................ 220
16.4. Уравнения с параметрами, содержащие модули .................................... 222
16.5. Линейные неравенства с параметрами ..................................................... 223
16.6. Неравенства с параметрами, решаемые методом интервалов ............... 224
16.7. Задачи с ограничениями на множества решений.................................... 228
16.8. Методы поиска необходимых условий в задачах
с ограничениями ......................................................................................... 229
16.9. Геометрические методы решения задач с параметрами ........................ 231
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ................................................................................... 235
