Undergraduate Lecture Notes in Physics: Fourier Transformation for Pedestrians, 2nd Ed / Лекции по физике для старших курсов: Преобразования Фурье для прохожих, 2я редакция
Год издания: 2015
Автор: Tilman Butz / Тильман Бутц
Жанр или тематика: физика, математика, электроника
Издательство:
© Springer International Publishing AG Switzerland
ISBN:
978-3-319-16985-9
ISSN: 2192-4805
Серия:
Undergraduate Lecture Notes in Physics
Язык: Английский
Формат: PDF
Качество: Издательский макет или текст (eBook)
Интерактивное оглавление: Да
Количество страниц: 250
Описание:
This book is an introduction to Fourier Transformation with a focus on signal analysis, based on the first edition. It is well suited for undergraduate students in physics, mathematics, electronic engineering as well as for scientists in research and development. It gives illustrations and recommendations when using existing Fourier programs and thus helps to avoid frustrations. Moreover, it is entertaining and you will learn a lot unconsciously. Fourier series as well as continuous and discrete Fourier transformation are discussed with particular emphasis on window functions. Filter effects of digital data processing are illustrated. Two new chapters are devoted to modern applications. The first deals with data streams and fractional delays and the second with the back-projection of filtered projections in tomography. There are many figures and mostly easy to solve exercises with solutions.
Эта книга представляет собой введение в преобразование Фурье с акцентом на анализ сигналов, основанное на первом издании. Она хорошо подходит для студентов старших курсов, изучающих физику, математику, электронную инженерию, а также для научных работников, занимающихся исследованиями и разработками. В нем приведены иллюстрации и рекомендации по использованию существующих программ Фурье и, таким образом, это помогает избежать разочарований. Кроме того, это увлекательно, и вы узнаете много нового неосознанно. Обсуждаются ряды Фурье, а также непрерывное и дискретное преобразование Фурье с особым акцентом на оконные функции. Показаны эффекты фильтрации при обработке цифровых данных. Две новые главы посвящены современным приложениям. Первая посвящена потокам данных и частичным задержкам, а вторая - обратной проекции отфильтрованных проекций в томографии. В ней много рисунков и в основном простых для решения упражнений с решениями.
Примеры страниц (скриншоты)
Оглавление
Contents
1 Fourier Series ....................................... 1
1.1 Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.1 Even and Odd Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2 Definition of the Fourier Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.3 Calculation of the Fourier Coefficients . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.4 Fourier Series in Complex Notation . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 Theorems and Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.1 Linearity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.2 The First Shifting Rule (Shifting Within the Time Domain) . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 The Second Shifting Rule (Shifting Within the Frequency Domain). . . . . . . . . . . . 16
1.2.4 Scaling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Partial Sums, Bessel’s Inequality, Parseval’s Equation. . . . . . . . 21
1.4 Gibbs’ Phenomenon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.4.1 Dirichlet’s Integral Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4.2 Integral Notation of Partial Sums . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.3 Gibbs’ Overshoot. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2 Continuous Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1 Continuous Fourier Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Even and Odd Functions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.2 The δ-Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.1.3 Forward and Inverse Transformation. . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1.4 Polar Representation of the Fourier Transform . . . . . . . . 41
2.2 Theorems and Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.1 Linearity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.2 The First Shifting Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.2.3 The Second Shifting Rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.2.4 Scaling Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Convolution, Cross Correlation, Autocorrelation, Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.1 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.3.2 Cross Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.3.3 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.3.4 Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Fourier Transformation of Derivatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.5 Pitfalls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.1 “Turn 1 into 3” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.5.2 Truncation Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3 Window Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.1 The Rectangular Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.1 Zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.2 Intensity at the Central Peak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.1.3 Sidelobe Suppression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.4 3 dB-Bandwidth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.1.5 Asymptotic Behaviour of Sidelobes . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2 The Triangular Window (Fejer Window). . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3 The Cosine Window. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.4 The cos2 - Window (Hanning) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.5 The Hamming Window. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.6 The Triplet Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
3.7 The Gauss Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.8 The Kaiser–Bessel Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.9 The Blackman–Harris Window . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.10 Overview over Window Functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.11 Windowing or Convolution? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4 Discrete Fourier Transformation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1 Discrete Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1.1 Even and Odd Series and Wrap-Around . . . . . . . . . . . . 94
4.1.2 The Kronecker Symbol or the “Discrete δ-Function” . . . 94
4.1.3 Definition of the Discrete Fourier Transformation . . . . . 96
4.2 Theorems and Rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.1 Linearity Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.2.2 The First Shifting Rule (Shifting in the Time Domain). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.2.3 The Second Shifting Rule (Shifting in the Frequency Domain) . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.2.4 Scaling Rule/Nyquist Frequency . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.3 Convolution, Cross Correlation, Autocorrelation,
Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.3.1 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
4.3.2 Cross Correlation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.3.3 Autocorrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.3.4 Parseval’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.4 The Sampling Theorem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
4.5 Data Mirroring. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.6 How to Get Rid of the “Straight-Jacket” Periodic Continuation? By Using Zero-Padding! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.7 Fast Fourier Transformation (FFT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 Filter Effect in Digital Data Processing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.1 Transfer Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.2 Low-Pass, High-Pass, Band-Pass, Notch Filter . . . . . . . . . . . . . 139
5.3 Shifting Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
5.4 Data Compression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5 Differentiation of Discrete Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.6 Integration of Discrete Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6 Data Streams and Fractional Delays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.1 Fractional Delays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
6.2 Non-recursive Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
6.3 Stability of Recursive Algorithms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
6.4 Thiran’s All-Pass Filter for N ¼ 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
6.4.1 Impulse Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.4.2 Step Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
6.4.3 Ramp Response . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7 Tomography: Backprojection of Filtered Projections . . . . . . . . . . . 173
7.1 Projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.2 Backprojection of Filtered Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
Appendix: Solutions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
References. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
