Real and Complex Analysis / Вещественный и Комплексный Анализ
Год издания: 1986
Автор: Rudin W. / Рудин В.
Жанр или тематика: Анализ
Издательство: McGraw Hill
Язык: Английский
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы + слой распознанного текста
Интерактивное оглавление: Да
Количество страниц: 430
Описание: Это продвинутый учебник для одно- или двухсеместрового курса анализа, который преподается в основном математикам, естественнонаучникам, информатикам и электротехникам на разных уровнях сложности. Основные приемы и теоремы анализа представлены таким образом, что подчеркиваются тесные связи между его различными отраслями. Таким образом, традиционно отдельные предметы «вещественного анализа» и «комплексного анализа» объединены в один том. Также включены некоторые из основных идей функционального анализа. Это единственная книга, в которой используется этот уникальный подход. Третье издание включает новую главу о дифференцировании. Доказательства теорем, представленные в книге, краткие и полные, а в конце каждой главы приводится множество сложных упражнений. Книга построена таким образом, что каждая глава основывается на другой, давая учащимся возможность постепенно понять предмет.
Оглавление
Title 2
Copyright 3
About the Author 4
Contents 6
Preface 12
Prologue: The Exponential Function 14
Chapter 1. Abstract Integration 18
Set-theoretic notations and terminology 19
The concept of measurability 21
Simple functions 28
Elementary properties of measures 29
Arithmetic in [0,infty] 31
Integration of positive functions 32
Integration of complex functions 37
The role played by sets of measure zero 40
Exercises 44
Chapter 2. Positive Borel Measures 46
Vector spaces 46
Topological preliminaries 48
The Riesz representation theorem 53
Regularity properties of Borel measures 60
Lebesgue measure 62
Continuity properties of measurable functions 68
Exercises 70
Chapter 3. L^p-Spaces 74
Convex functions and inequalities 74
The L^p-spaces 78
Approximation by continuous functions 82
Exercises 84
Chapter 4. Elementary Hilbert Space Theory 89
Inner products and linear functionals 89
Orthonormal sets 95
Trigonometric series 101
Exercises 105
Chapter 5. Examples of Banach Space Techniques 108
Banach spaces 108
Consequences of Baire's theorem 110
Fourier series of continuous functions 113
Fourier coefficients of L^1-functions 116
The Hahn-Banach theorem 117
An abstract approach to the Poisson integral 121
Exercises 125
Chapter 6. Complex Measures 129
Total variation 129
Absolute continuity 133
Consequences of the Radon-Nikodym theorem 137
Bounded linear functionals on L^p 139
The Riesz representation theorem 142
Exercises 145
Chapter 7. Differentiation 148
Derivatives of measures 148
The fundamental theorem of Calculus 157
Differentiable transformations 163
Exercises 169
Chapter 8. Integration on Product Spaces 173
Measurability on cartesian products 173
Product measures 176
The Fubini theorem 177
Completion of product measures 180
Convolutions 183
Distribution functions 185
Exercises 187
Chapter 9. Fourier Transforms 191
Formal properties 191
The inversion theorem 193
The Plancherel theorem 198
The Banach algebra L^1 203
Exercises 206
Chapter 10. Elementary Properties of Holomorphic Functions 209
Complex Differentiation 209
Integration over paths 213
The Local Cauchy Theorem 217
The Power Series Representation 221
The Open Mapping Theorem 227
The Global Cauchy Theorem 230
The Calculus Of Residues 237
Exercises 240
Chapter 11. Harmonic Functions 244
The Cauchy-Riemann equations 244
The Poisson integral 246
The mean value property 250
Boundary behavior of Poisson integrals 252
Representation theorems 258
Exercises 262
Chapter 12. The Maximum Modulus Principle 266
Introduction 266
The Schwarz lemma 267
The Phragmen-Lindelof method 269
An interpolation theorem 273
A converse of the maximum modulus theorem 275
Exercises 277
Chapter 13. Approximation by Rational Functions 279
Preparation 279
Runge's theotem 283
The Mittag-Leffler theorem 286
Simply Connected Regions 287
Exercises 289
Chapter 14. Conformal Mapping 291
Preservation of angles 291
Linear fractional transformations 292
Normal families 294
The Riemann mapping theorem 295
The class mathcal{G} 298
Continuity at the boundary 302
Conformal Mapping of an Annulus 304
Exercises 306
Chapter 15. Zeros of Holomorphic Functions 311
Infinite products 311
The Weierstrass factorization theorem 314
An interpolation problem 317
Jensen's formula 320
Blaschke products 323
The Mtintz-Szasz theorem 325
Exercises 328
Chapter 16. Analytic Continuation 332
Regular points and singular points 332
Continuation along curves 336
The monodromy theorem 339
Construction of a modular function 341
The Picard Theorem 344
Exercises 345
Chapter 17. H^p-Spaces 348
Subharmonic functions 348
The spaces H^p and N 350
The theorem of F. and M. Riesz 354
Factorization theorems 355
The shift operator 359
Conjugate functions 363
Exercises 365
Chapter 18. Elementary Theory of Banach Algebras 369
Introduction 369
The invertible elements 370
Ideals and homomorphisms 375
Applications 378
Exercises 382
Chapter 19. Holomorphic Fourier Transforms 384
Introduction 384
Two theorems of Paley and Wiener 385
Quasi-analytic classes 390
The Denjoy-Carleman theorem 393
Exercises 396
Chapter 20. Uniform Approximation by Polynomials 399
Introduction 399
Some lemmas 400
Mergelyan's theorem 403
Exercises 407
Appendix: Hausdorff's Maximality Theorem 408
Notes and Comments 410
Bibliography 418
List of Special Symbols 420
Index 422
