Set Theory: A First Course / Теория множеств: начальный курс
Год издания: 2016
Автор: Cunningham D.W. / Каннингем Д.В.
Жанр или тематика: Учебное пособие начального уровня
Издательство: Cambridge: Cambridge University Press
ISBN: 978-1-107-12032-7
Серия: Cambridge Mathematical Textbooks
Язык: Английский
Формат: PDF
Качество: Издательский макет или текст (eBook)
Интерактивное оглавление: Да
Количество страниц: xiv + 250
Описание: Set theory is a rich and beautiful subject whose fundamental concepts permeate virtually every branch of mathematics. One could say that set theory is a unifying theory for mathematics, since nearly all mathematical concepts and results can be formalized within set theory. This textbook is meant for an upper undergraduate course in set theory. In this text, the fundamentals of abstract sets, including relations, functions, the natural numbers, order, cardinality, transfinite recursion, the axiom of choice, ordinal numbers, and cardinal numbers, are developed within the framework of axiomatic set theory. The reader will need to be comfortable reading and writing mathematical proofs. The proofs in this textbook are rigorous, clear, and complete, while remaining accessible to undergraduates who are new to upper-level mathematics. Exercises are included at the end of each section in a chapter, with useful suggestions for the more challenging exercises.
Теория множеств — это богатый и красивый предмет, фундаментальные понятия которого пронизывают практически все разделы математики. Можно сказать, что теория множеств является объединяющей теорией для математики, поскольку почти все математические понятия и результаты могут быть формализованы в рамках теории множеств. Этот учебник предназначен для старших курсов бакалавриата по теории множеств. В этом тексте основы абстрактных множеств, включая отношения, функции, натуральные числа, порядок, мощность, трансфинитную рекурсию, аксиому выбора, порядковые числа и кардинальные числа описываются в рамках аксиоматической теории множеств. В таком антураже читателю будет более комфортно читать и писать математические доказательства. Доказательства в этом учебнике являются строгими, ясными и полными, оставаясь доступными для студентов старших курсов, которые являются новичками в высшей математике. В конце каждого раздела глав включены упражнения и полезные предложения с более сложными упражнениями.
Оглавление
Preface ix
The Greek Alphabet xiii
1. Introduction 1
1.1 Elementary Set Theory 1
1.2 Logical Notation 6
1.3 Predicates and Quantifiers 13
1.4 A Formal Language for Set Theory 20
1.5 The Zermelo–Fraenkel Axioms 23
2. Basic Set-Building Axioms and Operations 28
2.1 The First Six Axioms 28
2.1.1 The Extensionality Axiom 28
2.1.2 The Empty Set Axiom 29
2.1.3 The Subset Axiom 29
2.1.4 The Pairing Axiom 31
2.1.5 The Union Axiom 32
2.1.6 The Power Set Axiom 34
2.2 Operations on Sets 37
2.2.1 De Morgan’s Laws for Sets 37
2.2.2 Distributive Laws for Sets 38
3. Relations and Functions 41
3.1 Ordered Pairs in Set Theory 41
3.2 Relations 43
3.2.1 Operations on Relations 45
3.2.2 Reflexive, Symmetric, and Transitive Relations 49
3.2.3 Equivalence Relations and Partitions 50
3.3 Functions 56
3.3.1 Operations on Functions 59
3.3.2 One-to-One Functions 62
3.3.3 Indexed Sets 64
3.3.4 The Axiom of Choice 65
3.4 Order Relations 69
3.5 Congruence and Preorder 77
4. The Natural Numbers 83
4.1 Inductive Sets 84
4.2 The Recursion Theorem on ω 88
4.2.1 The Peano Postulates 91
4.3 Arithmetic on ω 95
4.4 Order on ω 102
5. On the Size of Sets 110
5.1 Finite Sets 112
5.2 Countable Sets 117
5.3 Uncountable Sets 124
5.4 Cardinality 129
6. Transfinite Recursion 142
6.1 Well-Ordering 142
6.2 Transfinite Recursion Theorem 145
6.2.1 Using a Set Function 146
6.2.2 Using a Class Function 150
7. The Axiom of Choice (Revisited) 156
7.1 Zorn’s Lemma 157
7.1.1 Two Applications of Zorn’s Lemma 161
7.2 Filters and Ultrafilters 165
7.2.1 Ideals 168
7.3 Well-Ordering Theorem 171
8. Ordinals 175
8.1 Ordinal Numbers 175
8.2 Ordinal Recursion and Class Functions 186
8.3 Ordinal Arithmetic 195
8.4 The Cumulative Hierarchy 201
9. Cardinals 208
9.1 Cardinal Numbers 208
9.2 Cardinal Arithmetic 218
9.3 Closed Unbounded and Stationary Sets 227
Notes 239
References 241
Index of Special Symbols 243
Index 245
