Боровков А.А. - Теория вероятностей (3-е изд.) [1999, DjVu, RUS]

Предисловие
Введение
Глава 1. Дискретное пространство элементарных событий
§ 1. Вероятностное пространство
§ 2. Классическая схема
§ 3. Схема Бернулли
§ 4. Вероятность объединения событий. Примеры
Глава 2. Произвольное пространство элементарных событий
§ 1. Аксиомы теории вероятностей. Вероятностное пространство
§ 2. Свойства вероятности
§ 3. Условная вероятность. Независимость событий и испытаний
§ 4. Формула полной вероятности и формула Байеса
Глава 3. Случайные величины и функции распределения
§ 1. Определения и примеры
§ 2. Свойства функций распределения и примеры
§ 3. Многомерные случайные величины
§ 4. Независимость случайных величин и классов событий
§ 5. О бесконечных последовательностях случайных величин
§ 6. Интегралы
Глава 4. Числовые характеристики случайных величин
§ 1. Математическое ожидание
§ 2. Условные функции распределения и условные математические ожидания
§ 3. Математические ожидания функций независимых случайных величин
§ 4. Математическое ожидание случайных величин, не зависящих от будущего
§ 5. Дисперсия
§ 6. Коэффициент корреляции и другие числовые характеристики
§ 7. Неравенства
§ 8. Обобщение понятия условного математического ожидания
§ 9. Условные распределения
Глава 5. Последовательность независимых испытаний с двумя исходами
§ 1. Законы больших чисел
§ 2. Локальная предельная теорема
§ 3. Теорема Муавра-Лапласа и ее уточнения
§ 4. Теорема Пуассона и ее уточнения
§ 5. Неравенства для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли
Глава 6. О сходимости случайных величин и распределений
§ 1. Сходимость случайных величин
§ 2. Сходимость распределений
§ 3. Условия слабой сходимости
Глава 7. Характеристические функции
§ 1. Определение и свойства характеристических функций
§ 2. Формула обращения
§ 3. Теорема непрерывности (сходимости)
§ 4. Другой подход к доказательству теорем сходимости к известному распределению
§ 5. Применение характеристических функций в теореме Пуассона
§ 6. Характеристические функции многомерных распределений. Многомерное нормальное распределение
§ 7. Другие применения х.ф. Свойства гамма-распределения
§ 8. Производящие функции. Применение к изучению ветвящегося процесса. Задача о вырождении
Глава 8. Последовательности независимых случайных величин. Предельные теоремы
§ 1. Закон больших чисел
§ 2. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных случайных величин
§ 3. Закон больших чисел для произвольных независимых случайных величин
§ 4. Центральная предельная теорема для сумм произвольных независимых случайных величин
§ 5. Другой подход к доказательству предельных теорем. Оценки погрешности
§ 6. Локальная предельная теорема
§ 7. Закон больших чисел и центральная предельная теорема в многомерном случае
§ 8. Вероятности больших уклонений
§ 9. Сходимость к другим устойчивым законам
Глава 9. Элементы теории восстановления
§ 1. Процессы восстановления, функции восстановления
§ 2. Основная теорема восстановления в решетчатом случае
§ 3. Эксцесс и дефект случайного блуждания. Предельное распределение в решетчатом случае
§ 4. Теорема восстановления и предельное распределение эксцесса и дефекта в нерешетчатом случае
§ 5. Закон больших чисел и центральная предельная теорема для процесса восстановления
Глава 10. Последовательности независимых случайных величин. Свойства траектории (0, S₁, S₂, ...) в целом
§ 1. Законы нуля и единицы. Верхние и нижние функции
§ 2. Сходимость рядов независимых случайных величин
§ 3. Усиленный закон больших чисел
§ 4. Усиленный закон больших чисел для произвольных независимых слагаемых
Глава 11. Факторизационные тождества
§ 1. Факторизационные тождества и их первые следствия
§ 2. Факторизационные тождества. Свойства траектории (0, S₁, S₂, ...)
§ 3. Распределение S = max(0,ζ) = max Sk
§ 4. Системы обслуживания
§ 5. Факторизационные тождества для распределений, связанных с показательной функцией
§ 6. Симметричные непрерывно распределенные случайные величины
§ 7. Тождество Поллачека-Спитцера
§ 8. Явные формулы для дискретных блужданий, непрерывных сверху
Глава 12. Последовательности зависимых испытаний. Цепи Маркова
§ 1. Счетные цепи Маркова. Определения и примеры. Классификация состояний
§ 2. Необходимые и достаточные условия возвратности состояний. Теорема об однотипности состояний неразложимой цепи, структура цепи в периодическом случае
§ 3. Теоремы о случайных блужданиях по решетке
§ 4. Эргодические теоремы
§ 5. Поведение переходных вероятностей для разложимых цепей
§ 6. Цепи Маркова с произвольным множеством состояний. Эргодичность цепей, имеющих положительный атом
§ 7. Эргодичность харрисовых цепей Маркова
Глава 13. Информация и энтропия
§ 1. Определения, свойства информации и энтропии
§ 2. Энтропия конечной цепи Маркова. Теорема об асимптотическом поведении информации длинного сообщения, ее приложения
Глава 14. Мартингалы
§ 1. Определения, простейшие свойства, примеры
§ 2. О сохранении свойства быть мартингалом при замене времени на случайное. Тождество Вальда
§ 3. Неравенства
§ 4. Теоремы сходимости
§ 5. Ограниченность моментов стохастических последовательностей
Глава 15. Стационарные (в узком смысле) последовательности
§ 1. Основные понятия
§ 2. Свойства эргодичности (метрической транзитивности), перемешивания и слабой зависимости
§ 3. Эргодическая теорема
Глава 16. Стохастически рекурсивные последовательности
§ 1. Основные понятия
§ 2. Эргодичность при наличии обновляющих событий. Условия ограниченности
§ 3. Условия эргодичности, связанные с монотонностью f
§ 4. Условия эргодичности для сжимающих в среднем преобразований, удовлетворяющих условию Липшица
Глава 17. Случайные процессы с непрерывным временем
§ 1. Общие определения
§ 2. Условия регулярности процессов
Глава 18. Процессы с независимыми приращениями
§ 1. Общие свойства
§ 2. Винеровские процессы, свойства траекторий
§ 3. Законы повторного логарифма
§ 4. Пуассоновские процессы
§ 5. Описание распределений всего класса процессов с независимыми приращениями
Глава 19. Функциональные предельные теоремы
§ 1. Сходимость к винеровскому процессу (принцип инвариантности)
§ 2. Закон повторного логарифма
§ 3. Сходимость к пуассоновскому процессу
Глава 20. Марковские процессы
§ 1. Определения и общие свойства
§ 2. Марковские процессы со счетным множеством состояний. Примеры
§ 3. Ветвящиеся процессы
§ 4. Полумарковские и регенерирующие процессы
§ 5. Диффузионные процессы
Глава 21. Процессы с конечными моментами второго порядка, гауссовские процессы
§ 1. Процессы с конечными моментами второго порядка
§ 2. Гауссовские процессы
§ 3. Задача о прогнозе
Приложение 1. Теорема о продолжении вероятностной меры
Приложение 2. Теорема Колмогорова о согласованных распределениях
Приложение 3. Интегрирование
§ 1. Пространство с мерой
§ 2. Интеграл по вероятностной мере
§ 3. Дальнейшие свойства интегралов
§ 4. Интеграл по произвольной мере
§ 5. Теорема Лебега о разложении и теорема Радона-Никодима
§ 6. Слабая сходимость и сходимость по вариации распределений в произвольных пространствах
Приложение 4. Теоремы Хелли и Арцела-Асколи
Приложение 5. Доказательство теоремы Берри-Эссена
Приложение 6. Теоремы восстановления
Приложение 7. Таблицы
Список литературы
Предметный указатель