Тихомиров В.М. - Некоторые вопросы теории приближений [1976, DjVu, RUS]

Теория приближений — это ветвь математического анализа, призванная исследовать способы преобразования в конечную той бесконечной информации, которая заложена в понятие функции. Как самостоятельная часть математики она ведет начало с мемуара П. Л. Чебышева 1854 г., хотя отдельные вопросы, касающиеся приближения функций, рассматривались ранее Эйлером, Гауссом, Лежандром, Понселе и другими математиками XVIII и XIX вв. На первом этапе развития теории изучались приближения конкретных функций при помощи фиксированного аппроксимирующего множества, как правило, при помощи полиномов или рациональных дробей.
В 1885 г. Вейерштрасс доказал, что каждая непрерывная функция на отрезке может быть с любой степенью точности приближена полиномами. Этот результат натолкнул на мысль искать связи между свойствами функций и скоростью приближения ее полиномами. Функции с одинаковой скоростью приближения образуют некоторый функциональный класс. Постепенно оформилось второе направление исследований, в которых изучались приближения не отдельных функций, а целых функциональных классов.
Из этих двух направлений и образовалась та математическая дисциплина, которую называют классической теорией приближений. В классической теории приближений аппроксимация осуществлялась обычно алгебраическими или тригонометрическими полиномами, а также рациональными дробями.
В середине- пятидесятых годов под влиянием А. Н.. Колмогорова получила распространение новая точка зрения на задачи теории аппроксимации. Стимулом для ее распространения явились, с одной стороны, потребности вычислительной математики, а с другой — получившие в то время широкую популярность шенноновские идеи об информации. Классическая теория приближений накопила огромный материал, создала и изучала множество методов приближения. Однако в вычислительной практике стали популярными различные «неклассические» методы приближения, скажем, приближения кусочно-полиномиальными функциями. Какие методы лучше?
Точная постановка этого вопроса требует, чтобы были четко описаны и объект приближения и приближающие его средства. В качестве объекта приближения интересно рассматривать прежде всего те функциональные классы, которые изучались на втором этапе развития классической теории приближений. Что касается средств, то здесь возможны весьма разные подходы. Еще в 1936 г. Колмогоров предложил в качестве средств аппроксимации рассматривать всевозможные линейные многообразия заданной конечной размерности. В 1955 г., отправляясь от идей теории информации, Колмогоров предложил изучать аппроксимативные возможности приближений конечно-точечными множествами. Можно изучать аппроксимативные возможности конечномерных линейных операторов, можно, задавшись целым числом N, попытаться выяснить аппроксимативные возможности Af-парамегриче-ских, не обязательно «плоских» множеств. При точных постановках соответствующих задач и появляются величины, которые называют поперечниками. Начиная с шестидесятых годов интерес к этой стороне теории приближений не ослабевает. Пожалуй, сейчас уже можно говорить о третьем этапе теории аппроксимации.
В этой книге затронуты отдельные вопросы и темы из всех трех перечисленных выше циклов исследования, но акцент сделан на проблематике третьего этапа.
В заглавии книги отразились особенности ее содержания. По ней нельзя составить впечатления о теории приближения в целом.
В основу книги легли материалы двух годовых спецкурсов, читавшихся автором на механико-математическом факультете МГУ в 1969 и 1974 гг.; предпочтение отдавалось классическим или завершенным (естественно и просто доказываемым) результатам.
В книге обсуждается узкая тема: приближение гладких функций одного переменного. Автор старался на ее примере показать, как взаимодействуют идеи и методы различных математических направлений: анализа, классической теории приближений, геометрии, топологии. Кроме того, была побочная цель ознакомить специалистов по теории приближений с теорией экстремальных задач.
Автору хотелось бы адресовать свою книгу широкому кругу математиков. У теории приближений есть свой круг задач и методов, она занимает важное место в анализе, но помимо этого есть одна важная особенность: она умеет хорошо «спрашивать» у своих «соседей». Остается масса нерешенных вопросов и не мелких, а принципиальных. Можно предвидеть, что теория приближения функций многих переменных будет развиваться по разным направлениям. Для многообразий, обладающих инвариантной структурой (т. е. обладающих группой движений подобно окружности и прямой в одномерном случае), напрашивается аппарат приближения, который следует назвать классическим: это функции, инвариантные относительно сдвига. Теория приближений может поставить очень большое число вопросов, относящихся к гармоническому анализу. Для классов функций на многообразиях с краем (скажем, для функций в общих областях Rn и О) нет классического аппарата. Здесь с самого начала следует оперировать новыми категориями — поперечниками, энтропией и т. д. Что составит аналог сумм Тейлора для приближений функций многих переменных в произвольных областях? Сколько информации содержится в функции, заданной на множестве, которое расположено в области, где эта функция гармонична? Эти вопросы обращены к специалистам по комплексному анализу и уравнениям с частными производными. Во взаимодействии «приближенцев» и -«аналитиков» и будет, по-видимому, решен вопрос о том, что такое сплайны для функций многих переменных. Экстремальные задачи приближений гладких функций многих переменных требуют существенного развития теории экстремальных задач. Нужно решить множество вопросов качественной теории нелинейных дифференциальных уравнений. Имеется множество проблем геометрии и топологии, которые порождаются задачами о приближениях. Хотелось бы, конечно, чтобы книга послужила стимулом к разработке всех этих вопросов.
Вкратце опишем содержание книги. Первая глава имеет вводный характер. В § 1.1 приводятся постановки многих задач, которые изучаются в теории приближений; в § 1.2 излагаются необходимые сведения из функционального анализа; § 1.3—1.5 посвящены теории экстремальных задач; в § 1.6 излагаются необходимые сведения из теории функций и гармонического анализа на окружности; в § 1.7 говорится о тех фактах из топологий, которые существенны для оценок снизу поперечников функциональных классов. Эта книга не является учебником, поэтому ее не обязательно и, по-видимому, неразумно читать подряд. В частности, материалом первой главы следует пользоваться по мере необходимости.
Вторая глава, посвященная экстремальным задачам теории приближений, опирается на § 1.2—1.5. При отборе материала выдерживались два принципа: во-первых, хотелось показать, как на основе единого метода решаются задачи совсем" разной природы, а во-вторых, хотелось показать «связь времен» — классического периода и современности.
Основным в-этой главе является § 2.5, где строится одна специальная серия функций. К этому параграфу тяготеют предшествующие четыре параграфа, где разбираются классические вопросы. Поллномам, наименее уклоняющимся от нуля, посвящены § 2.1 и 2.2. Эта тема появилась в работах Лежандра, Чебышева и Золотарева. В § 2.5 показывается, что полиномы Лежандра, Чебышева и Золотарева являются начальными элементами построенной там серии.
Неравенства для производных полиномов — также старая тема в теории приближений. Широко известны неравенства А. А. Маркова, В. А. Маркова, Бернштейна и ряд других. В § 2.5 показано, что эти неравенства появляются при решении более общих вопросов о неравенствах для гладких функций на отрезке. Адамар и Ландау решили ряд задач о неравенствах для производных, впоследствии этой теме посвятили свои работы Колмогоров, Стечкин и другие математики. Оказывается, что неравенства для производных являются предельными случаями неравенств для построенной в § 2.5 серии функций. § 2.6 посвящен двойственности в теории приближений. Методы двойственности, найденные в теории приближений, наряду с методами, которые изучались в выпуклом программировании, привели к формированию нового раздела анализа, известного сейчас под названием выпуклого анализа. В § 2.6 показывается, что многие теоремы двойственности в теории приближений являются по существу следствием одной теоремы выпуклого анализа, а именно теоремы об инволютивности преобразования Лежандра. § 2.7 посвящен в основном критериям экстремальных элементов. Там рассказывается о том, что представляет собой этот фрагмент теории приближений с точки зрения теории экстремальных задач.
Третья глава посвящена классической тематике — тематике второго этапа теории приближений. Речь идет о приближении классов гладких функций тригонометрическими полиномами. Эта тема, начатая в трудах Лебега, Валле-Пуссена, Фейера, Берн-штейна, Джексона и продолженная затем в работах Колмогорова, Фавара, Ахиезера, Дзядыка, Корнейчука, Крейна, Надя, Никольского, Стечкина и многих других, нашла весьма полное освещение во многих монографиях и обзорных статьях. В главе 3 изучается вопрос: что дают классические методы приближений в смысле приближения классов гладких функций серии W%. Эта глава опирается на § 1.6.
В четвертой главе находятся асимптотические и точные значения поперечников различных классов функций. В § 4.1 устанавливаются неравенства для поперечников. Здесь применяются топологические методы из § 1.7. Далее идет элементарный § 4.2. Там для простейшего класса функций, а именно для класса функций, удовлетворяющих условию Липшица, точно вычисляется большое число различных характеристик, которые обычно исследуются в теории приближений классов функций. В § 4.3 вычисляются поперечники конечномерных множеств, в § 4.4 — поперечники множеств в гильбертовом пространстве, наконец, в § 4.5 просуммированы все остальные результаты, касающиеся наилучших методов приближения, задания и интерполирования классов гладких и некоторых классов аналитических функций.
Несколько вопросов, близких к рассматриваемым в книге, но не лежащих в ее основном русле, выделены в дополнения.
Мне хотелось бы выразить глубокую благодарность моему учителю А. Н. Колмогорову, чьи идеи оказали на меня огромное влияние. Считаю своим долгом выразить признательность А. А. Милютину, от которого я воспринял принципы теории экстремальных задач. Очень большое значение для работы над этой книгой имели критика и советы А. А. Гончара. Я благодарен А. И. Камзолову, Г. Г. Магарил-Ильяеву и М. И. Стесину за большую помощь при подготовке и написании этой книги.