http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D1%82%D0%BE%D0%B4_%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0...1%81%D1%82%D0%B8
Метод конечных разностей во временной области
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Метод конечных разностей во временно́й области (англ. Finite Difference Time Domain, FDTD) — это метод численного решения задач электродинамики, основанный на нестандартной дискретизации уравнений Максвелла во времени и пространству. Метод работает во временной области, поэтому он годится для решения задач в широком диапазоне частот.
Этот метод относится к общему классу сеточных методов решения дифференциальных уравнений. Уравнения Максвелла подвергаются дискретизации, используя центрально-разностную аппроксимацию по времени и пространственным координатам. Полученные конечно-разностные уравнения решаются программными или аппаратными методами в каждый момент временной сетки, причем, как правило, рассчитанные поля разделены во времени половиной шага дискретизации. Расчёт полей в ячейках сетки повторяется до тех пор, пока не будет получено решение поставленной задачи в интересуемом промежутке времени.
Базовый алгоритм метода был впервые предложен американским ученым Кейном Йе (Калифорнийский университет) в 1966 г. в статье «Numerical solution of inital boundary value problems involving maxwell’s equations in isotropic media» журнала «IEEE Transactions: Antennas and Propagation». Однако, название «Finite-difference time-domain» и аббревиатура FDTD были даны методу Алленом Тефлавом (Северо-западный университет, штат Иллинойс).
Примерно с 1990 г. метод конечных разностей стал основным для численного моделирования многих научных и инженерных проблем, связанных со взаимодействием электромагнитных волн с веществом. Он может быть с успехом применен для решения широкого спектра задач: от моделирования сверхдлинных электромагнитных волн в геофизике (включая процессы в ионосфере) и микроволн (например для изучения сигнатурной радиолокации, расчёта характеристик антенн, разработки беспроводных устройств связи, в том числе цифровых) до решения задач в оптическом диапазоне (фотонные кристаллы, наноплазмоника, солитоны и биофотоника). К 2006 г. число публикаций, посвященных FDTD, достигло двух тысяч.
В настоящее время 27 зарубежных компаний разработали коммерческие программы, использующие метод конечных разностей. Также существует 8 свободных проекта с открытым исходными кодамм и 2 бесплатных с закрытымм исходниками (предназначенных для некоммерческого использования).
Содержание
* 1 Принцип работы метода FDTD
* 2 Использование метода FDTD
* 3 Достоинства алгоритма
* 4 Недостатки метода FDTD
* 5 Методы сокращения сетки для решения задач на открытых областях
* 6 См. также
* 7 Литература
Принцип работы метода FDTD
Рассматривая уравнения Максвелла, легко заметить, что изменение электрического поля во времени (частная производная) зависит от изменения магнитного поля в пространстве (а именно, ротора поля). Поэтому, в каждой точке пространства значение вектора электрического поля в каждый момент времени зависит от его значения в предыдущий момент времени и от изменения распределения вектора напряженности магнитного поля в пространстве.
В то же время, из аналогичных рассуждений можно заключить, что значение вектора H в каждый момент времени зависит от его значения в предыдущий и от изменения распределения вектора E в пространстве. В памяти компьютера хранятся значения векторов E и H в каждой ячейке сетки, которые обновляются с каждой итерацией процесса по времени.
Поля в ячейке сетки FDTD. Из таких ячеек составляется пространственная трёхмерная сетка (сетка Йе), взаимодействие волн с веществом учитывается заданием каждой ячейке значений диэлектрической и магнитной проницаемости, а так же проводимости
Описанное справедливо как для одномерного и двумерного случая, так и для трёхмерного. Если задача поставлена в нескольких измерениях, то численный расчёт ротора полей сильно усложняется. Поэтому для упрощения расчётов в методе FDTD сетки электрического и магнитного поля сдвинуты друг относительно друга так, что магнитное поле считается в точках, расположеннх точно между точками, в которых считается электрическое поле, и наоборот. Аналогичная (разделённая) сетка уже давно используется при решении задач гидродинамики (для давления и поля скорости). Эта схема, известная теперь под названием сетки Йе, оказалась очень надежной и в настоящее время соствляет основу многих современных реализаций метода.
Более того, Йе также предложил аналогичную схему для нахождения временных производных: E- и H-компоненты сетки разделены во времени половиной шага дискретизации,
Использование метода FDTD
Для использования метода необходимо обязательно задать счетную область. Счетная область это просто та область пространства, в пределах которой выполняется численное моделирование. В каждой точке счетной области задается её материал и вычисляются вектора полей E и H. Как правило, материал это вакуум (или воздух), металл или диэлектрик. Указав значения диэлектрической и магнитной проницаемости, а также проводимости можно использовать в моделировании любой материал.
После того, как задана расчётная область и материалы в ячейках сетки, необходимо задать источники. В зависимости от задачи, источником может быть точечным источником, плоской электромагнитной волной, полем витка тока или чем-нибудь еще.
Так как вектора электрического и магнитного полей непосредственно определяются в ходе моделирования, итоговым результатом, как правило, является серия значений векторов полей в последовательные моменты времени в одной или нескольких точках расчётной области.
Полученные в результате моделирования векторы E и H могут быть подвергнуты дополнительной обработки, в том числе, обработка данных может происходить параллельно с расчётом поля в следующий момент времени.
Так как по методу FDTD рассчитывается электромагнитное поле в ограниченной пространственной области, слабые и/или излучаемые в пространство поля могут быть получены с помощью преобразований ближнего поля в дальнее.
Достоинства алгоритма
Любая техника численного моделирования имеет свои сильные и слабые стороны, и метод FDTD не исключение.
* FDTD — это очень разносторонний метод решения уравнений Максвелла, он интуитивно понятен, поэтому пользователи могут легко понять как он работает и каких результатов ждать от его применения в той или иной задаче.
* FDTD работает во временной области, это значит, что за один этап моделирования могут быть получен результат в большом диапазоне частот, например, при использовании широкополосных импульсных источников (например, излучающих гауссовы испульсы). Это может быть очень полезным при решении задач, в которых не известны резонансные частоты или в случае моделирования широкополосных сигналов.
* Так как, согласно методу, поля вычисляются последовательно с течением времени, это позволяет создавать анимированные изображаения распространения волновых процессов в счетном объеме. Такие изображения могут быть очень полезны для понимания того, что происходит с моделью, и позволяют удостовериться, что модель работает корректно.
* Метод позволяет указать материал в каждой точке счетного объема и может быть легко приспособлен для моделирования не только широкого спектра металлов и диэлектриков, но и материалов с нелинейными свойствами.
* Метод позволяет непосредственно моделировать эффекты на отверстиях, так же как эффекты экранирования, причем поля внутри и вне экрана могут быть рассчитаны как напрямую, так и нет.
* Метод FDTD возвращает сразу значения векторов E и H, знание которых необходимо для решения большинства задач на электромагнитную совместимость/электромагнитное взаимодействие, что очень удобно, так как оказывается ненужным промежуточное преобразование результатов моделирования.
Недостатки метода FDTD
* Весь счетный объем должен быть разбит на ячейки сеткой Йе, и величина шага дискретизации по пространству должна быть достаточно малой по сравнению с наименьшей длиной волны, используемых в конкретной задаче. Кроме того, этой величина определяет детализацию распределения материалов в пространстве. Поэтому может оказаться, что счетный объем должен быть разделен на очень большое число ячеек, что означает большие затраты памяти и большое время моделирования. Поэтому оказывается сложным моделировать задачи, с длинными, тонкими пространственными структурами, например, поля проводников с током.
* FDTD рассчитывает поля в каждой точке счётного объёма. Если требуется найти поле на некотором отдалении от источника, это скорее всего значит, что счётный объем окажется чрезмерно большим. Сушествуют расширения метода для нахождения дальних полей, но они требуют постобработки.
* Так же это означает, что счётный объем должен быть конечным, чтобы уместиться в памяти компьютера. В большинстве случаев это достигается с помощью задания искусственных граничных условий в счетном объеме. Но их нужно использовать с осторожностью, чтобы свести к минимуму вызываемые ими искажения. В настоящее время известно несколько эффективных граничных условий поглощения для алгоритма FDTD, позволяющих имитировать бесконечную счетную область. Многие современные реализации используют вместо них специальный абсорбирующий «материал», называемый идеально согласованным слоем (PML).
Методы сокращения сетки для решения задач на открытых областях
В настоящее время наиболее широко используемые методы ограничения счетной области это применение граничных условий поглощения Мура или Лиао, или систем идеально согласованных слоев (PML). Условия Мура или Лиао намного проще, чем PML. Тем не менее, система согласованных слоев — строго говоря, являющихся поглощающей приграничной областью, а не граничнам условием как таковым — позволяет получить на порядки меньшие по величине коэффициенты отражения от границы. Понятие идеально согласованных слоев (PML) было введено Дж.-П. Беренгером в статье журнала «The Journal of Computational Physics» в 1994 г. Позже оригинальная методика Беренгера была усовершенствована и дополнена, в результате были разработаны методы юниаксиальных PML <uniaxial PML>, оборотных PML <convolutional PML> и PML высших порядков. Два последних метода имеют повышенную способность к поглощению падающих волн и принципиально могут быть помещены ближе к изучаемой рассеивающей или излучающей структуре, чем оригинальные PML Беренгера.
См. также
* Уравнения Максвелла
* Разностная схема
* Электродинамика
* Численные методы
Литература
Методу FDTD посвящено множество публикаций, однако основная их масса на английском языке. Ниже приведены ссылки на некоторые из них:
* Kane Yee (1966). "Numerical solution of initial boundary value problems involving Maxwell's equations in isotropic media". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 14: 302–307. DOI:10.1109/TAP.1966.1138693.
* A. Taflove and M. E. Brodwin (1975). "Numerical solution of steady-state electromagnetic scattering problems using the time-dependent Maxwell's equations". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 23: 623–630. DOI:10.1109/TMTT.1975.1128640.
* A. Taflove and M. E. Brodwin (1975). "Computation of the electromagnetic fields and induced temperatures within a model of the microwave-irradiated human eye". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 23: 888–896. DOI:10.1109/TMTT.1975.1128708.
* R. Holland (1977). "Threde: A free-field EMP coupling and scattering code". Nuclear Science, IEEE Transactions on 24: 2416–2421. DOI:10.1109/TNS.1977.4329229.
* K. S. Kunz and K. M. Lee (1978). "A three-dimensional finite-difference solution of the external response of an aircraft to a complex transient EM environment". Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 20: 328–341. DOI:10.1109/TEMC.1978.303727.
* A. Taflove (1980). "Application of the finite-difference time-domain method to sinusoidal steady state electromagnetic penetration problems". Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 22: 191–202. DOI:10.1109/TEMC.1980.303879.
* G. Mur (1981). "Absorbing boundary conditions for the finite-difference approximation of the time-domain electromagnetic field equations" (abstract). Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 23: 377–382. DOI:10.1109/TEMC.1981.303970.
* K. R. Umashankar and A. Taflove (1982). "A novel method to analyze electromagnetic scattering of complex objects". Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 24: 397–405. DOI:10.1109/TEMC.1982.304054.
* A. Taflove and K. R. Umashankar (1983). "Radar cross section of general three-dimensional scatterers". Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 25: 433–440. DOI:10.1109/TEMC.1983.304133.
* Z. P. Liao, H. L. Wong, B. P. Yang, and Y. F. Yuan (1984). "A transmitting boundary for transient wave analysis". Scientia Sinica a 27: 1063–1076.
* W. Gwarek (1985). "Analysis of an arbitrarily shaped planar circuit — A time-domain approach". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 33: 1067–1072.
* D. H. Choi and W. J. Hoefer (1986). "The finite-difference time-domain method and its application to eigenvalue problems". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 34: 1464–1470.
* G. A. Kriegsmann, A. Taflove, and K. R. Umashankar (1987). "A new formulation of electromagnetic wave scattering using an on-surface radiation boundary condition approach". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 35: 153–161.
* T. G. Moore, J. G. Blaschak, A. Taflove, and G. A. Kriegsmann (1988). "Theory and application of radiation boundary operators". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 36: 1797–1812.
* K. R. Umashankar, A. Taflove, and B. Beker (1987). "Calculation and experimental validation of induced currents on coupled wires in an arbitrary shaped cavity". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 35: 1248–1257.
* A. Taflove, K. R. Umashankar, B. Beker, F. A. Harfoush, and K. S. Yee (1988). "Detailed FDTD analysis of electromagnetic fields penetrating narrow slots and lapped joints in thick conducting screens". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 36: 247–257.
* T. G. Jurgens, A. Taflove, K. R. Umashankar, and T. G. Moore (1992). "Finite-difference time-domain modeling of curved surfaces". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 40: 357–366.
* D. M. Sullivan, O. P. Gandhi, and A. Taflove (1988). "Use of the finite-difference time-domain method in calculating EM absorption in man models". Biomedical Engineering, IEEE Transactions on 35: 179–186.
* X. Zhang, J. Fang, K. K. Mei, and Y. Liu (1988). "Calculation of the dispersive characteristics of microstrips by the time-domain finite-difference method". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 36: 263–267. DOI:10.1109/22.3514.
* T. Kashiwa and I. Fukai (1990). "A treatment by FDTD method of dispersive characteristics associated with electronic polarization". Microwave and Optics Technology Letters 3: 203–205.
* R. Luebbers, F. Hunsberger, K. Kunz, R. Standler, and M. Schneider (1990). "A frequency-dependent finite-difference time-domain formulation for dispersive materials". Electromagnetic Compatibility, IEEE Transactions on 32: 222–227. DOI:10.1109/15.57116.
* R. M. Joseph, S. C. Hagness, and A. Taflove (1991). "Direct time integration of Maxwell’s equations in linear dispersive media with absorption for scattering and propagation of femtosecond electromagnetic pulses". Optics Letters 16: 1412–1414.
* J. G. Maloney, G. S. Smith, and W. R. Scott, Jr. (1990). "Accurate computation of the radiation from simple antennas using the finite-difference time-domain method". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 38: 1059–1065. DOI:10.1109/8.55618.
* D. S. Katz, A. Taflove, M. J. Piket-May, and K. R. Umashankar (1991). "FDTD analysis of electromagnetic wave radiation from systems containing horn antennas". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 39: 1203–1212.
* P. A. Tirkas and C. A. Balanis (1991). "Finite-difference time-domain technique for radiation by horn antennas". Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE 3: 1750–1753. DOI:10.1109/APS.1991.175196.
* E. Sano and T. Shibata (1990). "Fullwave analysis of picosecond photoconductive switches". Quantum Electronics, IEEE Journal of 26: 372–377. DOI:10.1109/3.44970.
* S. M. El-Ghazaly, R. P. Joshi, and R. O. Grondin (1990). "Electromagnetic and transport considerations in subpicosecond photoconductive switch modeling". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 38: 629–637. DOI:10.1109/22.54932.
* P. M. Goorjian and A. Taflove (1992). "Direct time integration of Maxwell’s equations in nonlinear dispersive media for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons". Optics Letters 17: 180–182.
* R. W. Ziolkowski and J. B. Judkins (1993). "Full-wave vector Maxwell’s equations modeling of self-focusing of ultra-short optical pulses in a nonlinear Kerr medium exhibiting a finite response time". Optical Society of America B, Journal of 10: 186–198.
* R. M. Joseph, P. M. Goorjian, and A. Taflove (1993). "Direct time integration of Maxwell’s equations in 2-D dielectric waveguides for propagation and scattering of femtosecond electromagnetic solitons". Optics Letters 18: 491–493.
* R. M. Joseph and A. Taflove (1994). "Spatial soliton deflection mechanism indicated by FDTD Maxwell’s equations modeling". Photonics Technology Letters, IEEE 2: 1251–1254.
* W. Sui, D. A. Christensen, and C. H. Durney (1992). "Extending the two-dimensional FDTD method to hybrid electromagnetic systems with active and passive lumped elements". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 40: 724–730. DOI:10.1109/22.127522.
* B. Toland, B. Houshmand, and T. Itoh (1993). "Modeling of nonlinear active regions with the FDTD method". Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 3: 333–335. DOI:10.1109/75.244870.
* V. A. Thomas, M. E. Jones, M. J. Piket-May, A. Taflove, and E. Harrigan (1994). "The use of SPICE lumped circuits as sub-grid models for FDTD high-speed electronic circuit design". Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 4: 141–143.
* M. J. Piket-May, A. Taflove, and J. Baron (1994). "FD-TD modeling of digital signal propagation in 3-D circuits with passive and active loads". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 42: 1514–1523.
* J. Berenger (1994). "A perfectly matched layer for the absorption of electromagnetic waves". Journal of Computational Physics 114: 185–200. DOI:10.1006/jcph.1994.1159.
* D. S. Katz, E. T. Thiele, and A. Taflove (1994). "Validation and extension to three dimensions of the Berenger PML absorbing boundary condition for FDTD meshes". Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 4: 268–270.
* C. E. Reuter, R. M. Joseph, E. T. Thiele, D. S. Katz, and A. Taflove (1994). "Ultrawideband absorbing boundary condition for termination of waveguiding structures in FDTD simulations". Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 4: 344–346.
* Z. S. Sacks, D. M. Kingsland, R. Lee, and J. F. Lee (1995). "A perfectly matched anisotropic absorber for use as an absorbing boundary condition". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 43: 1460–1463. DOI:10.1109/8.477075.
* S. D. Gedney (1995). "An anisotropic perfectly matched layer absorbing media for the truncation of FDTD lattices". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 44: 1630–1639. DOI:10.1109/8.546249.
* Q. H. Liu (1997). "The pseudospectral time-domain (PSTD) method: A new algorithm for solutions of Maxwell’s equations". Antennas and Propagation Society International Symposium Digest, IEEE 1: 122–125. DOI:10.1109/APS.1997.630102.
* O. M. Ramahi (1997). "The complementary operators method in FDTD simulations". Antennas and Propagation Magazine, IEEE 39: 33–45. DOI:10.1109/74.646801.
* J. G. Maloney and M. P. Kesler (1998). "Analysis of Periodic Structures". Chap. 6 in Advances in Computational Electrodynamics: the Finite-Difference Time-Domain Method, A. Taflove, ed., Artech House, publishers.
* A. S. Nagra and R. A. York (1998). "FDTD analysis of wave propagation in nonlinear absorbing and gain media". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 46: 334–340. DOI:10.1109/8.662652.
* S. C. Hagness, A. Taflove, and J. E. Bridges (1998). "Two-dimensional FDTD analysis of a pulsed microwave confocal system for breast cancer detection: Fixed-focus and antenna-array sensors". Biomedical Engineering, IEEE Transactions on 45: 1470–1479.
* J. B. Schneider, and C. L. Wagner (1999). "FDTD dispersion revisited: Faster-than-light propagation". Microwave and Guided Wave Letters, IEEE 9: 54–56. DOI:10.1109/75.755044.
* F. Zhen, Z. Chen, and J. Zhang (2000). "Toward the development of a three-dimensional unconditionally stable finite-difference time-domain method". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 48: 1550–1558. DOI:10.1109/22.869007.
* F. Zheng and Z. Chen (2001). "Numerical dispersion analysis of the unconditionally stable 3-D ADI-FDTD method". Microwave Theory and Techniques, IEEE Transactions on 49: 1006–1009. DOI:10.1109/22.920165.
* J. A. Roden and S. D. Gedney (2000). "Convolution PML (CPML): An efficient FDTD implementation of the CFS-PML for arbitrary media". Microwave and Optical Technology Letters 27: 334–339. DOI:<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A 10.1002/1098-2760(20001205)27:5<334::AID-MOP14>3.0.CO;2-A.
* T. Rylander and A. Bondeson (2000). "Stable FDTD-FEM hybrid method for Maxwell’s equations". Computer Physics Communications 125: 75–82. DOI:10.1016/S0010-4655(99)00463-4.
* M. Hayakawa and T. Otsuyama (2002). "FDTD analysis of ELF wave propagation in inhomogeneous subionospheric waveguide models". ACES Journal 17: 239–244.
* J. J. Simpson, R. P. Heikes, and A. Taflove (2006). "FDTD modeling of a novel ELF radar for major oil deposits using a three-dimensional geodesic grid of the Earth-ionosphere waveguide". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 54: 1734–1741.
* H. De Raedt, K. Michielsen, J. S. Kole, and M. T. Figge (2003). "Solving the Maxwell equations by the Chebyshev method: A one-step finite difference time-domain algorithm". Antennas and Propagation, IEEE Transactions on 51: 3155–3160. DOI:10.1109/TAP.2003.818809.
