Высшее образование - Гмурман В.Е. - Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов, 12-е изд. [2024, PDF, RUS]

Введение........................................................................................... 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей...................................17
§ 1. Испытания и события................................................................... 17
§ 2. Виды случайных событий............................................................. 17
§ 3. Классическое определение вероятности..........................................18
§ 4. Основные формулы комбинаторики.................................................22
§ 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей................... 23
§ 6. Относительная частота. Устойчивость относительной
частоты................................................................................................ 24
§ 7. Ограниченность классического определения вероятности.
Статистическая вероятность.................................................................... 26
§ 8. Геометрические вероятности............................................................. 27
Задачи.................................................................................................... 30
Глава 2. Теорема сложения вероятностей.................................................. 31
§ 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий......................... 31
§ 2. Полная группа событий..........................................................................33
§ 3. Противоположные события................................................................. 34
§ 4. Принцип практической невозможности маловероятных
событий.................................................................................................. 35
Задачи........................................................................................................ 36
Глава 3. Теорема умножения вероятностей............................................... 37
§ 1. Произведение событий............................................................................37
§ 2. Условная вероятность..............................................................................37
§ 3. Теорема умножения вероятностей.....................................................38
§ 4. Независимые события. Теорема умножения
для независимых событий..............................................................40
§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события........................44
Задачи.........................................................................................................47
Глава 4. Следствия теорем сложения и умножения.............................. 48
§ 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий...........48
§ 2. Формула полной вероятности............................................................. 50
§ 3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса...........................................52
Задачи.................................................................................................................... 54
Глава 5. Повторение испытаний.......................................................................55
§ 1. Формула Бернулли................................................................................... 55
§ 2. Локальная теорема Лапласа................................................................. 57
§ 3. Интегральная теорема Лапласа........................................................... 59
§ 4. Вероятность отклонения относительной частоты
от постоянной вероятности в независимых испытаниях.61
Задачи....................................................................................................................63
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава 6. Виды случайных величин.
Задание дискретной случайной величины................................................ 64
§ 1. Случайная величина................................................................................64
§ 2. Дискретные и непрерывные случайные
величины...............................................................................................65
§ 3. Закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины............................................... 65
§ 4. Биномиальное распределение............................................................. 66
§ 5. Распределение Пуассона........................................................................68
§ 6. Простейший поток событий................................................................. 69
§ 7. Геометрическое распределение............................................................ 72
§ 8. Гипергеометрическое распределение................................................73
Задачи....................................................................................................................74
Глава 7. Математическое ожидание дискретной
случайной величины........................................................................................... 75
§ 1. Числовые характеристики дискретных
случайных величин...........................................................................75
§ 2. Математическое ожидание дискретной
случайной величины........................................................................ 76
§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания....................77
§ 4. Свойства математического ожидания...............................................78
§ 5. Математическое ожидание числа
появлений события в независимых испытаниях..................83
Задачи.................................................................................................................... 84
Глава 8. Дисперсия дискретной случайной величины..........................85
§ 1. Целесообразность введения числовой
характеристики рассеяния случайной величины................ 85
§ 2. Отклонение случайной величины
от ее математического ожидания............................................... 86
§ 3. Дисперсия дискретной случайной величины...............................87
§ 4. Формула для вычисления дисперсии..............................................89
§ 5. Свойства дисперсии.................................................................................90
§ 6. Дисперсия числа появлений события
в независимых испытаниях............................................................92
§ 7. Среднее квадратическое отклонение................................................94
§ 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно
независимых случайных величин...............................................95
§ 9. Одинаково распределенные взаимно
независимые случайные величины............................................95
§ К). Начальные и центральные
теоретические моменты...................................................................98
Задачи.................................................................................................................. 100
Глава 9. Закон больших чисел....................................................................... 101
§ 1. Предварительные замечания.............................................................. 101
§ 2. Неравенство Чебышева.........................................................................101
§ 3. Теорема Чебышева.................................................................................. 103
§ 4. Сущность теоремы Чебышева........................................................... 106
§ 5. Значение теоремы Чебышева для практики................................ 107
§ 6. Теорема Бернулли................................................................................... 108
Задачи.................................................................................................................. 110
Глава 10. Функция распределения вероятностей случайной
величины................................................................................................................. 111
§ 1. Определение функции распределения...........................................111
§ 2. Свойства функции распределения...................................................112
§ 3. График функции распределения.......................................................114
Задачи.................................................................................................................. 115
Глава 11. Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины..........................................................................................116
§ 1. Определение плотности распределения....................................... 116
§ 2. Вероятность попадания непрерывной
случайной величины в заданный интервал.......................... 116
§ 3. Нахождение функции распределения
по известной плотности распределения................................ 118
§ 4. Свойства плотности распределения..............................................119
§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения.....................121
§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей...................122
Задачи.................................................................................................................. 124
Глава 12. Нормальное распределение........................................................124
§ 1. Числовые характеристики
непрерывных случайных величин............................................124
§ 2. Нормальное распределение................................................................ 127
§ 3. Нормальная кривая................................................................................130
§ 4. Влияние параметров нормального
распределения на форму нормальной кривой....................131
§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал
нормальной случайной величины.......................................... 132
§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения......................133
§ 7. Правило трех сигм.................................................................................. 134
§ 8. Понятие о теореме Ляпунова.
Формулировка центральной предельной теоремы.........135
§ 9. Оценка отклонения теоретического
распределения от нормального.
Асимметрия и эксцесс.................................................................... 137
§ 10. Функция одного случайного аргумента
и ее распределение.......................................................................... 139
§11. Математическое ожидание функции
одного случайного аргумента......................................................141
§ 12. Функция двух случайных аргументов.
Распределение суммы независимых слагаемых.
Устойчивость нормального распределения..................................143
§ 13. Распределение «хи квадрат»............................................................ 145
§ 14. Распределение Стьюдента................................................................ 146
§ 15. Распределение Р Фишера — Спедекора..................................... 147
Задачи.................................................................................................................. 147
Глава 13. Показательное распределение..................................................149
§ 1. Определение показательного распределения.............................149
§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал
показательно распределенной случайной величины......150
§ 3. Числовые характеристики показательного
распределения....................................................................................151
§ 4. Функция надежности............................................................................152
§ 5. Показательный закон надежности...................................................153
§ 6. Характеристическое свойство
показательного закона надежности..........................................154
Задачи.................................................................................................................155
Глава 14. Система двух случайных величин............................................155
§ 1. Понятие о системе нескольких случайных величин...............155
§ 2. Закон распределения вероятностей
дискретной двумерной случайной величины...................... 156
§ 3. Функция распределения двумерной
случайной величины...................................................................... 158
§ 4. Свойства функции распределения
двумерной случайной величины............................................... 159
§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу..... 161
§ 6. Вероятность попадания
случайной точки в прямоугольник..........................................162
§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей
непрерывной двумерной случайной величины (двумерная
плотность вероятности)................................................................163
§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной
плотности распределения.............................................................163
§ 9. Вероятностный смысл двумерной
плотности вероятности..................................................................164
§ 10. Вероятность попадания случайной точки
в произвольную область................................................................165
§11. Свойства двумерной плотности вероятности...........................167
§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих
двумерной случайной величины............................................... 168
§ 13. Условные законы распределения составляющих системы
дискретных случайных величин............................................... 169
§ 14. Условные законы распределения
составляющих системы непрерывных
случайных величин......................................................................... 171
§ 15. Условное математическое ожидание.............................................173
§ 16. Зависимые и независимые случайные величины....................174
§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных
величин. Корреляционный момент. Коэффициент
корреляции.........................................................................................176
§ 18. Коррелированное™ и зависимость
случайных величин......................................................................... 179
§ 19. Нормальный закон распределения
на плоскости.......................................................................................181
§ 20. Линейная регрессия. Прямые линии
средиеквадратической регрессии.............................................. 182
§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция..................184
Задачи.................................................................................................................185
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Глава 15. Выборочный метод.......................................................................... 187
§ 1. Задачи математической статистики................................................187
§ 2. Краткая историческая справка.......................................................... 188
§ 3. Генеральная и выборочная совокупности..................................... 188
§ 4. Повторная и бесповторная выборки.
Репрезентативная выборка..........................................................189
§ 5. Способы отбора........................................................................................ 190
§ 6. Статистическое распределение выборки...................................... 192
§ 7. Эмпирическая функция распределения....................................... 192
§ 8. Полигон и гистограмма.........................................................................194
Задачи.................................................................................................................. 196
Глава 16. Статистические оценки параметров распределения .... 197
§ 1. Статистические оценки параметров
распределения....................................................................................197
§ 2. Несмещенные, эффективные
и состоятельные оценки................................................................198
§ 3. Генеральная средняя...............................................................................199
§ 4. Выборочная средняя..............................................................................200
§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
Устойчивость выборочных средних.........................................201
§ 6. Групповая и общая средние................................................................203
§ 7. Отклонение от общей средней и его свойство............................204
§ 8. Генеральная дисперсия......................................................................... 205
§ 9. Выборочная дисперсия........................................................................ 206
§ 10. Формула для вычисления дисперсии.......................................... 207
§11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая
дисперсии............................................................................................207
§ 12. Сложение дисперсий...........................................................................210
§ 13. Оценка генеральной дисперсии
по исправленной выборочной.................................................. 211
§ 14. Точность оценки, доверительная вероятность
(надежность). Доверительный интервал..............................213
§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического
ожидания нормального распределения при известном $.......214
§ 16. Доверительные интервалы для оценки
математического ожидания нормального
распределения при неизвестном 8............................................216
§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины............219
§ 18. Доверительные интервалы для оценки
среднего квадратического отклонения 8
нормального распределения...............................................................220
§ 19. Оценка точности измерений............................................................223
§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения)
по относительной частоте............................................................ 224
§ 21. Метод моментов для точечной оценки
параметров распределения.......................................................... 226
§ 22. Метод наибольшего правдоподобия............................................ 229
§ 23. Другие характеристики вариационного ряда............................234
Задачи..................................................................................................................235
Глава 17. Методы расчета сводных характеристик выборки........237
§ 1. Условные варианты.................................................................................237
§ 2. Обычные, начальные и центральные
эмпирические моменты.................................................................238
§ 3. Условные эмпирические моменты.
Отыскание центральных моментов по условным............239
§ 4. Метод произведений для вычисления
выборочных средней и дисперсии.......................................... 241
§ 5. Сведение первоначальных вариант
к равноотстоящим......................................................................... 243
§ 6. Эмпирические и выравнивающие
(теоретические) частоты.............................................................245
§ 7. Построение нормальной кривой
по опытным данным.......................................................................248
§ 8. Оценка отклонения эмпирического
распределения от нормального.
Асимметрия и эксцесс.......................................................................... 250
Задачи.................................................................................................................252
Глава 18. Элементы теории корреляции.................................................... 253
§ 1. Функциональная, статистическая
и корреляционная зависимости................................................253
§ 2. Условные средние....................................................................................254
§ 3. Выборочные уравнения регрессии...................................................254
§ 4. Отыскание параметров выборочного
уравнения прямой линии среднеквадратичной
регрессии по несгруппированным данным.................................255
§ 5. Корреляционная таблица................................................................... 257
§ 6. Отыскание параметров выборочного
уравнения прямой линии регрессии
по сгруппированным данным....................................................259
§ 7. Выборочный коэффициент корреляции.....................................261
§ 8. Методика вычисления выборочного
коэффициента корреляции........................................................ 262
§ 9. Пример на отыскание выборочного
уравнения прямой линии регрессии.......................................267
§ 10. Предварительные соображения
к введению меры любой корреляционной связи................268
§11. Выборочное корреляционное отношение..................................270
§ 12. Свойства выборочного корреляционного
отношения...........................................................................................272
§ 13. Корреляционное отношение как мера
корреляционной связи. Достоинства
и недостатки этой меры.................................................................274
§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции.................. 275
§ 15. Понятие о множественной корреляции....................................276
Задачи..................................................................................................................278
Глава 19. Статистическая проверка статистических гипотез....... 281
§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая
и конкурирующая, простая и сложная гипотезы...............281
§ 2. Ошибки первого и второго рода........................................................282
§ 3. Статистический критерий проверки
нулевой гипотезы. Наблюдаемое
значение критерия...................................................................................283
§ 4. Критическая область. Область принятия гипотезы.
Критические точки..........................................................................284
§ 5. Отыскание правосторонней критической области.................. 285
§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических
областей...............................................................................................286
§ 7. Дополнительные сведения о выборе
критической области. Мощность критерия........................287
§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных
совокупностей.................................................................................. 288
§ 9. Сравнение исправленной выборочной
дисперсии с гипотетической генеральной
дисперсией нормальной совокупности...................................293
§ 10. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей, дисперсии которых известны
(независимые выборки)................................................................297
§11. Сравнение двух средних произвольно распределенных
генеральных совокупностей
(большие независимые выборки).............................................303
§ 12. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей, дисперсии которых
неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки) .... 305
§ 13. Сравнение выборочной средней
с гипотетической генеральной средней
нормальной совокупности..................................................................308
§ 14. Связь между двусторонней критической областью
и доверительным интервалом...................................................312
§ 15. Определение минимального объема
выборки при сравнении выборочной
и гипотетической генеральной средних................................ 313
§ 16. Пример на отыскание мощности критерия...............................313
§17. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей с неизвестными
дисперсиями (зависимые выборки).........................................314
§ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты
с гипотетической вероятностью
появления события........................................................................317
§19. Сравнение двух вероятностей
биномиальных распределений..................................................319
§ 20. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных
совокупностей по выборкам различного объема. Критерий
Бартлетта.............................................................................................322
§21. Сравнение нескольких дисперсий
нормальных генеральных совокупностей
по выборкам одинакового объема.
Критерий Кочрена..........................................................................325
§ 22. Проверка гипотезы о значимости
выборочного коэффициента корреляции............................ 327
§ 23. Проверка гипотезы о нормальном
распределении генеральной совокупности.
Критерий согласия Пирсона...............................................................329
§ 24. Методика вычисления теоретических
частот нормального распределения.........................................333
§ 25. Выборочный коэффициент ранговой корреляции
Спирмена и проверка гипотезы о его значимости............ 335
§ 26. Выборочный коэффициент ранговой
корреляции Кендалла и проверка гипотезы
о его значимости..................................................................................... 341
§ 27. Критерий Вилкоксопа и проверка
гипотезы об однородности двух выборок.............................343
Задачи..................................................................................................................346
Глава 20. Однофакторный и дисперсионный анализ.......................... 349
§ 1. Сравнение нескольких средних. Понятие
о дисперсионном анализе............................................................ 349
§ 2. Общая факторная и остаточная суммы
квадратов отклонений..................................................................350
§ 3. Связь между общей, факторной и остаточной суммами...... 354
§ 4. Общая, факторная и остаточная дисперсии.............................. 355
§ 5. Сравнение нескольких средних методом
дисперсионного анализа...............................................................355
§ 6. Неодинаковое число испытаний
на различных уровнях....................................................................358
Задачи..................................................................................................................361
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА
Глава 21. Моделирование (разыгрывание) случайных величин
методом Монте-Карло......................................................................................363
§ 1. Предмет метода Монте-Карло...........................................................363
§ 2. Оценка погрешности метода Монте-Карло.................................364
§ 3. Случайные числа.....................................................................................366
§ 4. Разыгрывание дискретной случайной величины..................... 366
§ 5. Разыгрывание противоположных событий.................................368
§ 6. Разыгрывание полной группы событий........................................369
§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины.
Метод обратных функций........................................................... 371
§ 8. Метод суперпозиции..............................................................................375
§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной
величины.............................................................................................377
Задачи..................................................................................................................379
Глава 22. Первоначальные сведения о цепях Маркова................. 380
§ 1. Цепь Маркова.............................................................................. 380
§ 2. Однородная цепь Маркова. Переходные
вероятности. Матрица перехода.........................................381
§ 3. Равенство Маркова..................................................................... 383
Задачи..................................................................................................385
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава 23. Случайные функции.............................................................386
§ 1. Основные задачи.........................................................................386
§ 2. Определение случайной функции........................................... 386
§ 3. Корреляционная теория случайных функций.......................388
§ 4. Математическое ожидание случайной функции................... 390
§ 5. Свойства математического ожидания
случайной функции............................................................. 390
§ 6. Дисперсия случайной функции................................................391
§ 7. Свойства дисперсии случайной функции...............................392
§ 8. Целесообразность введения корреляционной функции..... 393
§ 9. Корреляционная функция случайной
функции................................................................................ 394
§ 10. Свойства корреляционной функции.....................................395
§ 11. Нормированная корреляционная функция.......................... 398
§ 12. Взаимная корреляционная функция.....................................399
§ 13. Свойства взаимной корреляционной функции................... 400
§ 14. Нормированная взаимная корреляционная функция.......... 401
§ 15. Характеристики суммы случайных функций.......................402
§ 16. Производная случайной функции и ее характеристики........405
§ 17. Интеграл от случайной функции
и его характеристики.................................................................409
§ 18. Комплексные случайные величины
и их числовые характеристики....................................................413
§ 19. Комплексные случайные функции
и их характеристики................................................................... 415
Задачи.........................................................................................417
Піава 24. Стационарные случайные функции..................................419
§ 1. Определение стационарной случайной функции...................... 419
§ 2. Свойства корреляционной функции
стационарной случайной функции..................................................421
§ 3. Нормированная корреляционная функция стационарной
случайной функции...................................................................... 421
§ 4. Стационарно связанные случайные функции............................423
§ 5. Корреляционная функция производной
стационарной случайной функции.................................................424
§ 6. Взаимная корреляционная функция стационарной случайной
функции и ее производной.......................................................... 425
§ 7. Корреляционная функция интеграла
от стационарной случайной функции............................................. 426
§ 8. Определение характеристик эргодических стационарных
случайных функций из опыта.........................................................428
Задачи..........................................................................................430
Глава 25. Элементы спектральной теории
стационарных случайных функций................................................. 431
§ 1. Представление стационарной случайной функции в виде
гармонических колебаний со случайными амплитудами
и случайными фазами....................................................................431
§ 2. Дискретный спектр стационарной
случайной функции........................................................................435
§ 3. Непрерывный спектр стационарной
случайной функции. Спектральная плотность..................................437
§4. Нормированная спектральная плотность.....................................441
§ 5. Взаимная спектральная плотность
стационарных и стационарно связанных
случайных функций..................................................................... 442
§ 6. Дельта-функция.....................................................................443
§ 7. Стационарный белый шум..................................................... 444
§ 8. Преобразование стационарной случайной функции
стационарной линейной
динамической системой................................................................446
Задачи.........................................................................................449
Дополнение..................................................................................451
А. Пример расчета многоканальной системы массового
обслуживания с отказами методом Монте-Карло............................. 451
Б. Применение метода Монте-Карло
к вычислению определенных интегралов....................................... 453
В. Примеры случайных процессов...................................................455
Приложения..................................................................................461
Предметный указатель...................................................................474