Сборник задач по алгебре
Год: 2001
Автор: Кострикин А.И. (ред.)
Издательство: Физматлит
ISBN: 5-9221-0020-3
Язык: Русский
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы + слой распознанного текста
Интерактивное оглавление: Да
Количество страниц: 464
Описание: Задачник составлен применительно к учебнику А.И. Кострикина “Введение в алгебру” (Т. 1. “Основы алгебры”, Т. 2. “Линейная алгебра”, Т. 3. “Основные структуры алгебры”) и учебному пособию А.И. Кострикина, Ю.И. Манина “Линейная алгебра и геометрия”. Цель книги — обеспечить семинарские занятия сразу по двум обязательным курсам: “Высшая алгебра” и “Линейная алгебра и геометрия”, а также предоставить студентам материал для самостоятельной работы.
Для студентов первых двух курсов математических факультетов университетов и педагогических институтов.
Оглавление
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
ЧАСТЬ I. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ
Глава I. Множества и отображения
§ 1. Операции над подмножествами. Подсчет числа элементов
§ 2. Число отображений и подмножеств, биномиальные коэффициенты
§ 3. Перестановки
§ 4. Рекуррентные соотношения. Математическая индукция
§ 5. Суммирование
Глава II. Арифметрические пространства и линейные уравнения
§ 6. Арифметические пространства
§ 7. Ранг матрицы
§ 8. Системы линейных уравнений
Глава III. Определители
§ 9. Определители второго и третьего порядков
§ 10. Выражение определителя. Индуктивное определение
§ 11. Основные свойства определителя
§ 12. Разложение определителя по строке и столбцу
§ 13. Определители и элементарные преобразования
§ 14. Вычисление определителей специального вида
§ 15. Определитель произведения матриц
§ 16. Дополнительные задачи
Глава IV. Матрицы
§ 17. Действия над матрицами
§ 18. Матричные уравнения. Обратная матрица
§ 19. Матрицы специального вида
Глава V. Комплексные числа
§ 20. Комплексные числа в алгебраической форме
§ 21. Комплексные числа в тригонометрической форме
§ 22. Корни из комплексных чисел и многочлены деления круга
§ 23. Вычисления с помощью комплексных чисел
§ 24. Связь комплексных чисел с геометрией на плоскости
Глава VI. Многочлены
§ 25. Деление с остатком и алгоритм Евклида
§ 26. Простые и кратные корни над полями нулевой характеристики
§ 27. Разложение на неприводимые множители над R и С
§ 28. Многочлены над полем рациональных чисел и над конечными полями
§ 29. Рациональные дроби
§ 30. Интерполяция
§ 31. Симметрические многочлены и формулы Виета
§ 32. Результант и дискриминант
§ 33. Распределение корней
ЧАСТЬ II. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
Глава VII. Векторные пространства
§ 34. Понятие векторного пространства. Базисы
§ 35. Подпространства
§ 36. Линейные функции и отображения
Глава VIII. Билинейные и квадратичные функции
§ 37. Общие билинейные и полуторалинейные функции
§ 38. Симметрические билинейные, эрмитовы и квадратичные функции
Глава IX. Линейные операторы
§ 39. Определение линейного оператора. Образ, ядро, матрица линейного оператора
§ 40. Собственные векторы, инвариантные подпространства, корневые подпространства
§ 41. Жорданова форма и её приложения. Минимальный многочлен
§ 42. Нормированные пространства. Неотрицательные матрицы
Глава X. Метрические векторные пространства
§ 43. Геометрия метрических пространств
§ 44. Сопряжённые и нормальные операторы
§ 45. Самосопряжённые операторы. Приведение квадратичных функций к главным осям
§ 46. Ортогональные и унитарные операторы. Полярное разложение
Глава XI. Тензоры
§ 47. Основные понятия
§ 48. Симметрические и кососимметрические тензоры
Глава XII. Аффинная, евклидова и проективная геометрия
§ 49. Аффинные пространства
§ 50. Выпуклые множества
§ 51. Евклидовы пространства
§ 52. Гиперповерхности второго порядка
§ 53. Проективные пространства
ЧАСТЬ III. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ
Глава XIII. Группы
§ 54. Алгебраические операции. Полугруппы
§ 55. Понятие группы. Изоморфизм групп
§ 56. Подгруппы, порядок элемента группы. Смежные классы
§ 57. Действие группы на множестве. Отношение сопряжённости
§ 58. Гомоморфизмы и нормальные подгруппы. Факторгруппы, центр
§ 59. Силовские подгруппы. Группы малых порядков
§ 60. Прямые произведения и прямые суммы. Абелевы группы
§ 61. Порождающие элементы и определяющие соотношения
§ 62. Разрешимые группы
Глава XIV. Кольца
§ 63. Кольца и алгебры
§ 64. Идеалы, гомоморфизмы, факторкольца
§ 65. Специальные классы алгебр
§ 66. Поля
§ 67. Расширения полей. Теория Галуа
§ 68. Конечные поля
Глава XV. Элементы теории представлений
§ 69. Представления групп. Основные понятия
§ 70. Представления конечных групп
§ 71. Групповые алгебры и модули над ними
§ 72. Характеры представлений
§ 73. Первоначальные сведения о представлениях непрерывных групп
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Приложение. Теоретические сведения
§ I. Аффинная и евклидова геометрия
§ II. Гипреповерхности второго порядка
§ III. Проективные пространства
§ IV. Тензоры
§ V. Элементы теории представлений
§ VI. Список определений
§ VII. Список обозначений
