Кабанихин С.И. - Обратные и некорректные задачи. Учебник для студентов высших учебных заведений. Изд.2-е [2009, DjVu, RUS]

От автора 8
Предисловие 9
Предисловие ко второму изданию 13
Глава 1. Определения и примеры 14
1Л. Об определении обратных и некорректных задач 14
1.2. Примеры обратных и некорректных задач 23
Глава 2. Некорректные задачи 39
2.1. Корректные и некорректные задачи 41
2.2. Об устойчивости в различных пространствах 43
2.3. Теорема В. К. Иванова. Квазирешение 46
2.4. Метод М. М. Лаврентьева 49
2.5. Метод регуляризации А. Н. Тихонова 52
2.6. Градиентные методы 60
2.7. Оценка скорости сходимости по функционалу 66
2.8. Оценка условной устойчивости и сильная сходимость
градиентных методов решения некорректных задач 70
2.9. Псевдообратный оператор и сингулярное разложение
оператора 78
Глава 3. Некорректные задачи линейной алгебры 88
3.1. Обобщение понятия решения. Псевдорешение 91
3.2. Метод регуляризации 93
3.3. Принципы выбора параметра регуляризации 97
3.4. Итерационные регуляризирующие алгоритмы 98
3.5. Сингулярное разложение 100
3.6. Алгоритм сингулярного разложения и метод С. К.
Годунова 108
3.7. Метод квадратного корня 112
3.8. Дополнительные сведения и упражнения 113
Глава 4. Интегральные уравнения 122
4.1. Интегральные уравнения Фредгольма первого хюда 122
4.2. Регуляризация линейных интегральных уравнений Воль-
терра первого рода 129
4.3. Операторные уравнения Вольтерра с ограниченно
липшиц-непрерывным ядром 135
4.4. Локальная корректность и теорема единственности в
целом 139
4.5. Корректность в окрестности точного решения 141
4.6. Регуляризация нелинейных операторных уравнений
первого рода 146
Глава 5. Интегральная геометрия 153
5.1. Задача Радона 154
5.2. Восстановление функции по сферическим средним 162
5.3. Определение функции одной переменной по значениям ее
интегралов. Проблема моментов 163
5.4. Обратная кинематическая задача сейсмики 168
Глава 6. Спектральные обратные задачи и обратные
задачи рассеяния 179
6.1. Прямая задача Штурма — Лиувилля на конечном
интервале 181
6.2. Обратные задачи Штурма — Лиувилля на конечном
интервале 187
6.3. Метод Гельфанда — Левитана на конечном интервале... 190
6.4. Обратные задачи рассеяния 196
6.5. Обратные задачи рассеяния во временной области 203
6.6.0 взаимосвязях переходных функций 207
Глава 7. Линейные задачи для гиперболических
уравнений 210
7.1. Восстановление функции по сферическим средним 210
7.2. Задача Коши для гиперболического уравнения с данными
на времениподобной поверхности 213
7.3. Обратная задачи термоакустики 215
7.4. Линеаризованная многомерная обратная задача для
волнового уравнения 217
Глава 8. Линейные задачи для параболических
уравнений 232
8.1. О постановке обратных задач для параболических
уравнений и их связи с соответствующими обратными задачами
для гиперболических уравнений 233
8.2. Обратная задача теплопроводности с обратным временем
(ретроспективная) 237
8.3. Граничные обратные задачи и задачи продолжения 247
8.4. Внутренние задачи и задачи об источнике 248
Глава 9. Линейные задачи для эллиптических уравнений 253
9.1. Теорема единственности и оценка условной устойчивости
на плоскости 254
9.2. Сведение начально-краевой задачи для уравнения
Лапласа к обратной задаче и к операторному уравнению Aq = f 258
9.3. Исследование оператора А для уравнения Лапласа 259
9.4. Задача продолжения для уравнения с самосопряженным
эллиптическим оператором 263
Глава 10. Коэффициентные обратные задачи для
гиперболических уравнений 269
10.1. Обратные задачи для уравнения иц — ихх - q(x)u + F(x, t) 270
10.1.1. Задача с распределенными начальными данными
для уравнения иц — ихх — q(x)u + F(x,t) 270
10.1.2. Задача с сосредоточенным источником для
уравнения иц = ихх - q(x)u 277
10.1.3. Разрешимость в целом обратной задачи для
уравнения иц = ихх — q(x)u 282
10.1.4. Связь обратной задачи Штурма — Лиувилля и
обратной задачи с сосредоточенным источником — 289
10.2. Обратные задачи акустики 293
10.2.1. Исследование одномерной обратной задачи
акустики 301
10.2.2. Методы решения обратной задачи акустики 304
10.3. Одномерная обратная задача электродинамики 306
10.4. Локальная разрешимость многомерных обратных задач . 313
10.5. Метод отображений Неймана — Дирихле для
полупространства 321
10.6. Лучевые постановки обратных задач 325
10.6.1. Асимптотическое разложение фундаментального
решения уравнения акустики 326
10.6.2. Трехмерная обратная задача для уравнения
акустики 328
10.7. Двумерный аналог уравнения Гельфанда — Левитана —
Крейна 334
Глава 11. Коэффициентные обратные задачи для
параболических и эллиптических уравнений 341
11.1. Постановка коэффициентных обратных задач для
параболического уравнения. Сведение к гиперболическим
обратным задачам 342
11.2. Сведение к спектральным обратным задачам 344
11.3. Теоремы единственности 346
11.4. Градиентные методы 349
11.5. Теорема единственности в переопределенной постановке
для эллиптического уравнения 354
11.6. Обратная задача в полубесконечном цилиндре 356
Глава 12. Приложение 360
12.1. Пространства 360
12.1.1. Евклидовы пространства 361
12.1.2. Гильбертовы пространства 366
12.1.3. Банаховы пространства 371
12.1.4. Метрические и топологические пространства 372
12.1.5. Примеры гильбертовых и банаховых пространств 380
12.2. Операторы 381
12.2.1. Операторы в топологических пространствах 382
12.2.2. Операторы в метрических пространствах 383
12.2.3. Операторы в линейных пространствах 384
12.2.4. Операторы в банаховых пространствах 386
12.2.5. Операторы в гильбертовых пространствах 391
12.2.6. Линейные операторы в конечномерных
пространствах (матрицы) 396
12.3. Сопряженное пространство и сопряженный оператор 404
12.3.1. Функционалы 404
12.3.2. Сопряженное пространство 408
12.3.3. Сопряженный оператор 412
12.4. Элементы дифференциального исчисления в банаховых
пространствах 416
12.5. Функциональные пространства 419
12.5.1. Функциональные пространства, используемые при
рассмотрении стационарных краевых задач 419
12.5.2. Функциональные пространства, используемые при
решении нестационарных задач 429
12.6. Уравнения математической физики 434
12.6.1. Дельта-функция Дирака и ее свойства 434
12.6.2. Основные уравнения математической физики 437
12.6.3. Классическая задача Коши для волнового
уравнения 440
12.6.4. Фундаментальное решение дифференциального
оператора 441
Список основных обозначений 445
Список основной литературы 449
Предметный указатель 451