green_time · 03-Фев-10 13:19(15 лет 4 месяца назад, ред. 03-Фев-10 20:26)
Р. Голдблатт Топосы. Категорный анализ логики Год выпуска: 1983 Автор: Голдблатт Р. Жанр: философия, логика, математика Издательство: Москва "Мир" Формат: DjVu Качество: Отсканированные страницы Язык: Русский Количество страниц: 487 Описание: Предесловие редактора перевода Книга Голдблатта знакомит читателя с элементами категорной логики — нового ответвления математической науки,развившегося на стыке теории категорий, алгебраической геометрии и математической логики. Несмотря на малый свой возраст эта бурно развивающаяся область довольно хорошо отражена в мировой математической литературе, однако на русском языке она практически не представлена. Поэтому следует сказать несколько слов о категорной логике вообще.
В конце 50-х — начале 60-х годов была обнаружена связь между формальными аксиоматическими теориями (или дедуктивными системами) и категориями. Ламбек на некоторых примерах показал, как исчисление или дедуктивную систему можно превратить в категорию, морфизмы которой определяются выводами в исчислении. Отношение равенства между морфизмами задается некоторым отношением эквивалентности на выводах. Это открыло путь для приложений в теории категории методов, разработанных в теории доказательств и, наоборот, сделало возможным использование в теории доказательств категорного языка и категорных идей.
Ловер выдвинул несколько другой взгляд. Он предложил рассматривать формальные теории как категории, морфизмы
которых определяются термами и формулами, а композиция морфизмов задается с помощью операции подстановки терма вместо свободных переменных. Выводимые в формальной теории формулы задают отношение равенства между морфизмами. Взгляд Ловера на теорию как на определенного сорта категорию позволил шире поставить вопрос о моделях данной теории. В классической теории рассматриваются модели, которые с категорной точки зрения являются функторами, сохраняющими дополнительную категорную структуру, из категории, соответствующей данной формальной теории, в категорию всех множеств. Новый подход основан на возможности рассматривать вместо категории множеств какую-нибудь другую категорию, обладающую требуемыми свойствами. Очевидно, этот подход расширяет возможности метода моделирования,поскольку моделированию могут подвергнуться глубинные понятия, не затрагиваемые в классической теории моделей.
Категорный подход к моделям как определенного рода функторам дает единый взгляд на понятие модели. Согласно ему классическое понятие модели и понятие модели для интуиционистских теорий, введенное Крипке, различаются только категорией, в которой принимает значения функтор.
На других аспектах категорной логики мы останавливаться не будем, так как они освещены автором в его предисловии и введении. Топосы, которым посвящена настоящая книга, — это категории, обладающие определенными свойствами. С точки зрения ловеровского подхода они являются категориями, которые соответствуют формальным системам, получаемым присоединением к теории типов с интуиционистской логикой произвольного множества аксиом, сформулированных на теоретико-типовом языке, содержащем произвольное множество исходных типов. Заметим, что первоначально топосы (называемые также элементарными топосами) были введены на совершенно ином пути, о котором говорится в предисловии автора. Аксиоматика топосов идейно проста. Чтобы дать о ней самое общее представление, рассмотрим класс конечных множеств как категорию с произвольными отображениями между множествами в качестве морфизмов. В этом классе существуют одноэлементное множество, декартово произведение двух множеств, прообраз подмножества при любом отображении и множество всех подмножеств данного множества. Эти свойства класса выразимы в определенном смысле в категории конечных множеств на категорном языке, т. е. с использованием переменных как по объектам, так и по морфизмам, символа операции композиции морфизмов и символа
отношения равенства между морфизмами. Получающиеся четыре категорных предложения образуют аксиоматику топосов. Таким образом, категория всех конечных множествявляется топосом. Книга Голдблатта предназначена для лиц, незнакомых с теорией категорий. В первых ее параграфах подробно рассматриваются некоторые элементарные понятия этой теории. Однако учебником по теории категорий она служить не может. Такие основные категорные понятия, как понятие представимости функтора и пары сопряженных функторов, появляются лишь в последней главе, да к тому же без доказательства связанных с ними теорем. Такое расположение материала объясняется педагогическими соображениями и стремлением автора поскорее перейти к изложению существа дела — определению понятия топоса, его свойствам, моделям в топосе. Как указывает автор в своем предисловии, его основная цель—вызвать интерес к предмету. В соответствии с этим упор в книге сделан на разъяснение идейных основ теории, а не на развитие технических средств. Книга занимает промежуточное положение между популярным изложением и монографией. Она содержит много мотивировок вводимых понятий, обсуждений результатов, примеров, упражнений и рисунков. Формально (да и по существу) каких-либо специальных знаний у читателя не предполагается за исключением, пожалуй, элементарных понятий наивной теории множеств — все необходимые определения и факты приводятся в тексте. Однако категорные и логические сведения будут, конечно, способствовать более глубокому пониманию материала книги, в частности помогут восстановить опущенные или кратко намеченные доказательства. Книга интересна не только для профессиональных логиков, но и для более широкой аудитории топологов, алгебраистов и всех, кто интересуется современным состоянием оснований математики.Доп. информация: перевод с английского В.Н. Гришина и В. В. Шокурова
под редакцией Д. А. Бочвара
