Алгебра. Учебное пособие, 2-е издание
Год издания: 2020
Автор: Устян А.Е. и др.
Издательство: Тул. гос. пед. ун-т им. Л. Н. Толстого
ISBN: 978-5-6043745-0-4
Язык: Русский
Формат: PDF
Качество: Отсканированные страницы + слой распознанного текста
Количество страниц: 436
Описание: В учебном пособии излагается необходимый традиционный материал курса алгебры. Рассматриваются основы теории множеств, отношения и функции, бинарные алгебраические операции, алгебры и алгебраические системы, основные числовые системы, кольца полиномов, полиномы над основными числовыми полями.
Пособие предназначено бакалаврам различных специальностей и направлений подготовки, изучающих вопросы алгебры.
Примеры страниц (скриншоты)
Оглавление
Предисловие ко второму изданию......................................................................................................3
Глава I. Элементы теории множеств
и математической логики...................................................................................................................................5
§ 1. Множества...........................................................................................................................................................................5
1. Понятие множества.............................................................................................................................................5
2. Подмножества...........................................................................................................................................................6
3. Операции над множествами......................................................................................................................8
4. Приложения к школьному курсу......................................................................................................10
Упражнения...................................................................................................................................................................21
§ 2. Элементы математической логики.......................................................................................................25
1. Предварительные замечания. Высказывания.....................................................................25
2. Операции над высказываниями.........................................................................................................27
3. Формулы логики высказываний.......................................................................................................28
4. Законы логики........................................................................................................................................................29
§ 3. Предикаты и кванторы. Логические операции над ними..........................................32
§ 4. Взаимно обратные теоремы. Необходимые и достаточные условия. Доказательство от противного..............................................................................................................................35
Упражнения...................................................................................................................................................................36
§ 5. Отношения и функции........................................................................................................................................39
1. Понятие отношения ......................................................................................................................................39
2. Упорядоченные наборы элементов ..............................................................................................39
3. Прямые (декартовы) произведения ..............................................................................................40
4. Бинарное отношение и бинарное соответствие...............................................................42
5. Функции......................................................................................................................................................................46
6. Алгебраическая операция.........................................................................................................................51
Упражнения...................................................................................................................................................................53
Глава II. Множества натуральных и целых чисел...................................................58
§ 6. Система натуральных чисел.........................................................................................................................58
§ 7. Метод математической индукции.........................................................................................................60
1. Полная индукция................................................................................................................................................60
2. Неполная индукция.........................................................................................................................................62
3. Метод математической индукции...................................................................................................63
Упражнения...................................................................................................................................................................69
§ 8. Элементы комбинаторики..............................................................................................................................72
1. Размещения с повторениями.................................................................................................................73
2. Перестановки без повторений..............................................................................................................74
3. Перестановки с повторениями............................................................................................................75
4. Сочетания без повторений......................................................................................................................75
5. Сочетания с повторениями......................................................................................................................76
Упражнения...................................................................................................................................................................81
§ 9. Множество целых чисел. Делимость. Теорема о делении с остатком...........84
Упражнения...................................................................................................................................................................86
§ 10. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида..........................................................87
Упражнения................................................................................................................................................................91
§ 11. Наименьшее общее кратное......................................................................................................................92
Упражнения................................................................................................................................................................94
§ 12. Простые числа. Разложение на простые множители.....................................................96
Упражнения................................................................................................................................................................99
§ 13. Числовые функции. Число и сумма натуральных делителей............................101
Упражнения.............................................................................................................................................................105
§ 14. Систематические числа .............................................................................................................................106
1. Арифметические операции
над систематическими числами...................................................................................................108
Упражнения.............................................................................................................................................................109
§ 15. Признаки делимости.......................................................................................................................................110
Упражнения.............................................................................................................................................................115
Глава III. Алгебраические структуры.........................................................................................116
§ 16. Группа. Основные свойства групп. Примеры....................................................................116
Упражнения.............................................................................................................................................................121
§ 17. Определение, примеры и простейшие свойства колец и полей. Гомоморфизмы и изоморфизмы......................................................................................................................123
1. Простейшие свойства...............................................................................................................................126
2. Основные свойства классов вычетов......................................................................................129
3. Свойства сравнений по идеалу......................................................................................................129
Упражнения .............................................................................................................................................................132
§ 18. Упорядоченное поле. Система действительных чисел............................................134
Упражнения .............................................................................................................................................................137
§ 19. Числовое поле. Комплексные числа.
Тригонометрическая форма комплексного числа........................................................................137
Упражнения.............................................................................................................................................................148
Глава IV. Матрицы и определители.
Системы линейных уравнений...........................................................................................................152
§ 20. Матрицы и действия над ними...........................................................................................................152
Упражнения.............................................................................................................................................................158
§ 21. Системы линейных уравнений...........................................................................................................159
§ 22. Решение систем линейных уравнений
методом последовательного исключения неизвестных.........................................................161
Упражнения.............................................................................................................................................................166
§ 23. Определители второго и третьего порядка............................................................................169
Упражнения.............................................................................................................................................................173
§ 24. Определители п-го порядка.....................................................................................................................174
Упражнения.............................................................................................................................................................177
§ 25. Свойства определителей п-го порядка........................................................................................178
Упражнения.............................................................................................................................................................180
§ 26. Миноры и алгебраические дополнения.....................................................................................181
Упражнения.............................................................................................................................................................184
§ 27. Разложение определителя п-го порядка
по элементам строки и столбца........................................................................................................................185
Упражнения.............................................................................................................................................................186
§ 28. Правило Крамера................................................................................................................................................187
Упражнения.............................................................................................................................................................190
§ 29. Вычисление обратной матрицы. Решение матричных уравнений.............192
Упражнения.............................................................................................................................................................202
§ 30. Ранг матрицы.........................................................................................................................................................202
Упражнения.............................................................................................................................................................207
§ 31. Теорема Кронекера - Капели...............................................................................................................208
Упражнения.............................................................................................................................................................212
§ 32. Система линейных однородных уравнений........................................................................213
Упражнения.............................................................................................................................................................215
§ 33. Связь между решениями неоднородных и однородных систем
линейных уравнений.....................................................................................................................................................216
Упражнения.............................................................................................................................................................217
§ 34. Некоторые замечания по решению систем
линейных уравнений.....................................................................................................................................................218
Упражнения.............................................................................................................................................................220
Глава V. Конечномерные векторные пространства..........................................227
§ 35. Понятие векторного пространства.................................................................................................227
Упражнения.............................................................................................................................................................229
§ 36. Арифметическое векторное пространство............................................................................229
§ 37. Линейная зависимость векторов.......................................................................................................230
Упражнения.............................................................................................................................................................233
§ 38. Размерность векторного пространства.......................................................................................233
Упражнения.............................................................................................................................................................237
§ 39. Подпространства линейного пространства ........................................................................237
Упражнения.............................................................................................................................................................238
§ 40. Разложение пространства в прямую сумму.
Сумма и пересечение подпространств......................................................................................................239
Упражнения.............................................................................................................................................................242
§ 41. Преобразование координат при изменении базиса.....................................................242
Упражнения.............................................................................................................................................................248
§ 42. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами.
Неравенство Коши - Буняковского..............................................................................................................248
Упражнения.............................................................................................................................................................262
§ 43. Ортогональный базис. Расстояние от точки до подпространства. Ортогональное дополнение к подпространству.
Изоморфизм евклидовых подпространств..........................................................................................264
Упражнения.............................................................................................................................................................274
§ 44. Линейные операторы....................................................................................................................................276
1. Линейные операторы и их простейшие свойства...................................................276
2. Линейное пространство операторов.....................................................................................279
3. Преобразование матрицы линейного оператора
при переходе к новому базису....................................................................................................280
4. Линейный оператор, сопряженный данному...............................................................281
5. Самосопряженные линейные операторы........................................................................283
6. Ортогональный линейный оператор.....................................................................................285
7. Произвольное невырожденное линейное преобразование
вещественного евклидова пространства..........................................................................288
8. Билинейные и квадратичные формы....................................................................................289
9. Приведение общего уравнения кривой II порядка
к каноническому виду...........................................................................................................................297
10. Инварианты кривой II порядка.................................................................................................300
11. Поиск центра и главных осей центральной кривой.
Поиск вершины и оси параболы..........................................................................................303
12. Поверхности второго порядка...................................................................................................305
Упражнения .............................................................................................................................................................311
Глава VI. Многочлены от одной переменной...............................................................317
§ 45. Кольцо многочленов от одной переменной..........................................................................317
Упражнения.............................................................................................................................................................320
§ 46. Делители. Наибольший общий делитель.................................................................................320
1. Основные свойства делимости......................................................................................................321
Упражнения.............................................................................................................................................................324
§ 47. Неприводимые многочлены...................................................................................................................325
Упражнения.............................................................................................................................................................327
§ 48. Производные и формула Тейлора....................................................................................................328
Упражнения.............................................................................................................................................................329
§ 49. Отделение кратных множителей......................................................................................................330
Упражнения .............................................................................................................................................................332
§ 50. Корни многочлена.............................................................................................................................................332
Упражнения .............................................................................................................................................................334
§ 51. Основная теорема алгебры......................................................................................................................335
Упражнения .............................................................................................................................................................338
§ 52. Уравнения третьей и четвертой степени.................................................................................339
Упражнения.............................................................................................................................................................344
§ 53. Границы действительных корней и их отделение........................................................344
Упражнения .............................................................................................................................................................350
§ 54. Вычисление рациональных корней многочлена.............................................................351
Упражнения .............................................................................................................................................................353
§ 55. Неприводимость многочленов
над полем рациональных чисел......................................................................................................................354
Упражнения .............................................................................................................................................................355
§ 56. Квадратичное расширение. Условие разрешимости
уравнений третьей степени в квадратичных радикалах.......................................................356
1. Примеры задач, неразрешимых в квадратных радикалах..............................358
Упражнения .............................................................................................................................................................359
Глава VII. Многочлены от нескольких переменных..........................................360
§ 57. Кольцо многочленов от нескольких переменных..........................................................360
1. Лексикографическое расположение членов многочлена................................361
Упражнения.............................................................................................................................................................362
§ 58. Симметрические многочлены..............................................................................................................363
Упражнения.............................................................................................................................................................368
§ 59. Применение симметрических многочленов
к элементарной алгебре.............................................................................................................................................369
Упражнения ...........................................................................................................................................................379
§ 60. Алгебраические и трансцендентные числа..........................................................................381
Упражнения.............................................................................................................................................................387
§ 61. Строение простого алгебраического расширения поля. Освобождение от алгебраической иррациональности
в знаменателе дроби......................................................................................................................................................388
Упражнения.............................................................................................................................................................392
Ответы и указания.................................................................................................................................................394
Литература..............................................................................................................................................................426
