Антоневич А.Б., Радыно Я.В. - Функциональный анализ и интегральные уравнения [2006, DjVu, RUS]

От авторов 3
Глава I. Теория меры 5
§ 1. Предварительные сведения 5
§ 2. Кольца и полукольца множеств 13
§ 3. Необходимость пересмотра понятия интеграла. Общее понятие меры 18
§ 4. Продолжение меры по Лебегу 29
§ 5. Мера Лебега на прямой 38
§ 6. Меры Лебега — Стилтьеса 44
Глава II. Интеграл Лебега 50
§ 7. Измеримые функции 50
§ 8. Интеграл Лебега. Определение и элементарные свойства 56
§ 9. Предельный переход под знаком интеграла 66
§ 10. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана 76
§ 11. Заряды 81
§ 12. Теорема Радона — Никодима 87
§ 13. Произведение мер. Теорема Фубини 96
Глава III. Метрические пространства 104
§ 14. Метрические пространства. Определения и примеры 104
§ 15. Топология метрических пространств 111
§ 16. Полные метрические пространства 118
§ 17. Пополнение метрических пространств 124
§ 18. Теоремы о продолжении 129
§ 19. Пространство L1(Τ, μ) 133
§ 20. Пространство Lp(T, μ) 140
§ 21. Принцип сжимающих отображений 146
§ 22. Интегральные уравнения. Применение принципа сжимающих отображений 150
§ 23. Компактные метрические пространства 160
§ 24. Свойства компактных пространств 165
Глава IV. Нормированные векторные пространства 173
§ 25. Нормированные пространства 173
§ 26. Банаховы пространства 179
§ 27. Линейные операторы в нормированных пространствах 187
§ 28. Критерий конечномерности нормированного пространства. Эквивалентные нормы 200
§ 29. Гильбертовы пространства 205
§ 30. Ортогональность. Теорема о проекции 210
§ 31. Разложение по ортонормированным системам 215
§ 32. Полные ортонормированные системы в конкретных пространствах 221
Глава V. Линейные операторы 226
§ 33. Пространства линейных ограниченных операторов 226
§ 34. Сильная сходимость последовательности операторов. Теорема Банаха — Штейнгауза 231
§ 35. Обратные операторы 234
§ 36. Теорема о замкнутом графике 243
§ 37. Приложения к интегральным уравнениям 249
§ 38. Преобразование Фурье функций из пространства L1(R) 257
§ 39. Преобразование Фурье в пространстве L2(R) 264
Глава VI. Сопряженные пространства и сопряженные операторы 268
§ 40. Линейные ограниченные функционалы 268
§ 41. Теорема Хана — Банаха 273
§ 42. Общий вид линейных ограниченных функционалов в конкретных пространствах 282
§ 43. Сопряженные операторы 291
§ 44. Примеры сопряженных операторов 294
§ 45. Спектр оператора 299
§ 46. Слабая сходимость. Рефлексивность 304
Глава VII. Уравнения с компактными операторами 310
§ 47. Компактные операторы и их свойства 310
§ 48. Компактность интегральных операторов 315
§ 49. Теория Рисса — Шаудера уравнений с компактными операторами. Фредгольмовы операторы 320
§ 50. Интегральные уравнения Фредгольма 327
§ 51. Сопряженные и самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве 334
§ 52. Спектральное разложение компактного самосопряженного оператора 340
Глава VIII. Обобщенные функции 351
§ 53. Топологические векторные пространства 352
§ 54. Пространства основных и обобщенных функций 357
§ 55. Действия с обобщенными функциями 363
§ 56. Пространство обобщенных функций медленного роста. Преобразование Фурье 371
Глава IX. Локально выпуклые топологические векторные пространства 375
§ 57. Полунормы и локально выпуклые топологии 375
§ 58. Линейные непрерывные операторы и функционалы. Ограниченные множества 381
§ 59. Сопряженное пространство и связанные с ним топологии 388
§ 60. Полнота. Индуктивные пределы 393
§ 61. Локально выпуклые пространства функционального
анализа 397
Приложение. Топологические пространства 401
§ 1. Открытые множества. Окрестности 401
§ 2. Непрерывные отображения 406
§ 3. Подпространства. Фактор-пространства 408
§ 4. Произведение топологических пространств 409
§ 5. Сходящиеся направленности 410
§ 6. Отделимые пространства 413
§ 7. Компактные пространства 414
Литература 419
Предметный указатель 423