Многообразия Эйнштейна (2 тома)
Год: 1990
Автор: Бессе А.
Переводчик: Алексеевский Д.В.
Издательство: Мир
ISBN: 5-03-002065-9, 5-03-002066-7
Язык: Русский
Формат: DjVu
Качество: Отсканированные страницы
Количество страниц: 318, 384
Описание:
----------------- Том 1 ----------------------
Книга известного французского математика, посвященная одному из современных и активно развивающихся направлений геометрии. Многообразия Эйнштейна - это многомерный аналог поверхностей постоянной кривизны, которые возникли в общей теории относительности и связаны с кэлеровой и кватернионной геометрией, алгебраическими поверхностями и полями Янга - Миллса. Автор начинает с основных понятий и дает обзор применяемых методов в различных приложениях.
Для математиков (геометров, специалистов по группам Ли, алгебраической геометрии, функциональному анализу), для физиков-теоретиков, аспирантов и студентов университетов.
----------------- Том 2 ----------------------
Данную книгу написал ведущий французский математик. Он посвятил свой труд одному из современных и активно развивающихся направлений геометрии. Что же такое "Многообразия Эйнштейна"? Это многомерный аналог поверхностей постоянной кривизны, которые возникли в общей теории относительности и связаны с кэлеровой кватернионной геометрией, алгебраическими поверхностями и полями Янга - Миллса. Автор издания приводит базовые понятия, рассказывает о применяемых методах в различных приложениях.
Книга будет интересна специалистам точных наук – математикам, геометрам, специалистов по группам Ли, алгебраической геометрии, функциональному анализу, для физикам-теоретикам, аспирантам и студентам ВУЗов.
Оглавление
От переводчика.....................5
От автора -.....................8 Глава 0. Введение ...................9
A. Определения и краткие пояснения ..........................9
B. Зачем нужна книга о многообразиях Эйнштейна?......14
C. Существование.....................15
D. Примеры.......................16
E. Единственность и модули...............20
F. Краткий обзор содержания но главам..........21
G. Путеводитель.....................28
H. Как почувствовать кривизну Риччи........................28
I. Основные открытые проблемы...............32
Глава 1. Основные сведения............- * • 35
A. Введение.......................35
B. Линейные связности..................38
C. Римановы и нсевдоримановы многообразия.......46
D. Римановы многообразия как метрические пространства.....55
E. Римановы погружения, нзометрии и киллинговы векторные поля 58
F. Многообразия Эйнштейна................63
G. Разложение алгебраических теноров кривизны на неприводимые компоненты......................67
II. Применение к римаповой геометрии ... ........72
I. Лапласианы и формулы Вейценбёка............77
J. Конформная деформация римановых метрик ........83
К. Первая вариация поля тензоров кривизны..........88
Глава 2. Основные сведения (продолжение): кэлеровы мно-
гообразия ..................94
A. Почти комплексные и комплексные многообразия.......94
B. Эрмитовы и кэлеровы метрики.............98
C. Тензор Риччи и форма Риччи.............102
D. Голоморфная секционная кривизна.............106
E. Классы Чженя . ....................109
F. Форма Риччи как форма кривизны линейного расслоения . . . .112
G. Теория Ходжа.....................115
H. Голоморфные векторные поля и инфинитезимальные изометрин . 119
I. Теорема Калаби — Футаки................126
Глава 3. Теория относительности.............129
Л. Введепие.......................129
B. Физическая интерпретация............. . . 129
C. Полевое уравнение Эйнштейна.............131
D. Приливные напряжения.......... ......133
E. Нормальные формы кривизны...............134
F. Метрика Шварцшильда.................139
G. Планетные орбиты...................143
H. Прецессия перигелия..................146
I. Геодезические вселенной Шварцшильда...........147
J. Отклонение луча света....... .........148
К. Расширение Крускала.................150
L. Как может нарушаться полнота............. 152
М. Теоремы сингулярности................ 154
Глава 4. Римановы функционалы ............156
A. Введение.................... . 156
B. Основные свойства римановых функционалов........157
C. Полная скалярная кривизна: свойства первого порядка .... 161
D. Существование метрик постоянной скалярной кривизны .... 163
E. Образ отображении скалярной кривизны..........167
F. /Многообразие метрик постоянной скалярной кривизны ... 170
G. Снова о полной скалярной кривизне: свойства второго порядка . 173
H. Квадратичные функционалы...............178
Глава 5. Кривизна Риччи как уравнение в частных производных ...................183
A. Точечная (инфинитезимальная) разрешимость..... . . 183
B. От точечной разрешимости к локальной: препятствия .... . 186
C. Локальная разрешимость уравнения Ric(g) — г для невырожденного тензора г............................189
D. Локальное построение метрик Эйнштейна..................192
E. Регулярность метрик с гладким тензором Риччи..........192
F. Аналитичность метрик Эйнштейна и ее применение . ... 196
G. Метрики Эйнштейна на трехмерных многообразиях . . . 197
H. Теорема единственности для кривизны Риччи ... , . 204
I. Несуществование глобальных решений ...............205
Глава 6. Многообразия Эйнштейна и топология.....207
A. Введение.................... . 207
B. Существование метрик Эйнштейна в двумерном случае.....208
C. Трехмерный случай...................211
D. Четырехмерный случай............ .... 216
E. Кривизна Риччи и фундаментальная группа........222
F. Скалярная кривизна и спинорное препятствие........ 227
G. Доказательство теоремы Чигера — Громола о полных многообразиях неотрицательной кривизны Риччи...........231
Глава 7. Однородные римановы многообразия.......238
A. Введение.......................238
B. Однородные римановы многообразия............239
C. Кривизна...........^...........243
D. Примеры однородных многообразий Эйнштейна.......249
E. Общие результаты для однородных многообразий Эйнштейна . 253
F. Симметрические пространства...............256
G. Стандартные однородные многообразия ... .... . . 263
H. Таблицы.................... • • 268
I. Немного об однородных лоренцевых многообразиях..... 276
Глава 8. Компактные однородные кэлеровы многообразия 280
0. Введение.......................280
A. Орбиты присоединенного представления компактной группы Ли 281
B. Каноническая комплексная структура...........284
C. G-инвариантная форма Риччи...............288
D. Симплектическая структура Кириллова — Коста на — Сурьо . . . 294
E. Инвариантные кэлеровы метрики на орбитах ........296
F. Компактные однородные кэлеровы многообразия.......300
G. Пространство орбит.......................303
H. Примеры.......................306
Содержание т. II.....................314
Глава 9. Римановы субмерсии .............325
A. Введение.......................325
B. Римановы субмерсии..................326
C. Инварианты Ли Т...................329
D. Формулы О’Нейла для кривизны............332
E. Полнота и связности..................336
F. Римановы субмерсии с вполне геодезическими слоями.....341
G. Каноническая вариация.................345
H. Применение к однородным многообразиям Эйнштейна.....352
I. Другие примеры однородных многообразий Эйнштейна . . . .361
J. Скрещенные произведения................363
К. Примеры неоднородных компактных многообразий Эйнштейна положительной скалярной кривизны.............373
Глава 10. Группы голономии ..............380
A. Введение.......................380
B. Определения.....................382
C. Обращение в нуль ковариантных производных инвариантов голо-номни. Примеры....................385
D. Римановы произведения и голономия...........389
E. Структура I.....................394
F. Голономия и кривизна.................396
G. Симметрические пространства и их голономия........401
H. Структура II.....................409
I. Неодносвязный случай.................419
J. Лоренцевы многообразия.................421
К. Таблицы.......................424
Глава И. Метрики Кэлера — Эйнштейна и гипотеза Калабн 433
A. Метрики Кэлера — Эйнштейна..............434
B. Доказательство гипотезы Калаби и ее следствия.......438
C. Набросок доказательства теорем Обина — Калаби — Яу . . . • 444
D. Компактные комплексные многообразия с положительным первым классом Чженя...................448
E. Экстремальные метрики.................453
Глава 12. Пространство Модулей эйнштейновых структур 462
A. Введение.......................
B. Типичные примеры: поверхности и плоские многообразия . . . 465
C. Основной аппарат...................469
D. Иифинитезимальные эйнштейновы деформации.......471
E. Формальная интегрируемость...............472
F. Структура пространства предмодулей...........476
G. Множество констант Эйнштейна............ 478
H. Устойчивость эйнштейновых структур...........482
I. Размерность Пространства Модулей............485
J. Деформация метрик Кэлсра — Эйнштейна..........489
К. Пространство Модулей на КЗ-поверхности.........495
Глава 13. Автодуальность ...............50!
A. Введение.......................501
B. Автодуальность.....................502
C. Конформно полуплоские многообразия...........505
D. Конструкция Пенроуза................514
E. Обращение конструкции Пенроуза............522
F. Построение конформно полуплоских многообразий Эйнштейна . 528
Глава 14. Кватернионно-кэлеровы многообразия.....536
A. Введение.......................536
B. Гилеркэлеровы многообразия..............538
C. Примеры гиперкэлеровых многообразий...........542
D. Кватернионно-кэлеровы многообразия...........545
E. Симметрические кватернионно-кэлеровы многообразия.....552
F. Кватернионные многообразия...............555
G. Пространство твисторов кватернионных многообразий .... 558
H. Применение теории пространств твисторов..........563
I. Примеры несимметрических кватернионно-кэлеровых многообразий 569
Глава 15. Немного о некомпактном случае.......572
A. Введение.......................572
B. Конструкция неоднородных метрик Эйнштейна........573
C. Конструкции, использующие расслоения..........575
D. Ограниченные области голоморфности...........580
Глава 16. Обобщения условий Эйнштейна .......585
A. Введение . ....................585
B. Естественные линейные условия на Dr...........587
C. Тензоры Кодацци...................590
D. Случай Dr е C~(Q © S): риыаиовы многообразия с гармоническим тензором Вейля....................598
E. Случай Dr е С00 (5): римановы многообразия с гармонической кривизной ........................602
F. Случай Dr e C°° (Q)..................608
G. Случай DreC"(/t): римановы многообразия, удовлетворяющие условию (Dx г) (X, X) «= 0 для всех касательных векторов X . . 612
H. Ориентированные римановы 4-многообразия с = 0 . . . . 614
Приложение. Пространства Соболева и эллиптические one-• раторы..................621
A. Пространства Гёльдера.................621
B. Пространства Соболева.................622
C. Теоремы вложения......................622
D. Дифференциальные операторы..............625
E. Сопряженные операторы.................626
F. Главный символ....................627
G. Эллиптические операторы................628
H. Оценки Шаудера и £р-оцеики линейных эллиптических операторов 630
I. Существование решений линейных эллиптических уравнений . .631
J. Регулярность решений эллиптических уравнений.......635
К. Существование решений нелинейных эллиптических уравнений . . 636
Дополнение......................642
Д. Бесконечное множество констант Эйнштейна на S<2) X S2m+1 . . . 642
B. Явные метрики с группами голономии Gt и Spin(7)......644
C. Неоднородные метрики Кэлера — Эйнштейна положительной скалярной кривизны....................646
D. Единственность метрики Кэлера — Эйнштейна положительной скалярной кривизны....................648
E. Гиперкэлеровы фактор-многообразия............650
Литература........................653
Послесловие.......................681
Именной указатель.....................686
Предметный указатель...................689
Содержание т. 1......................699
