Гмурман В.Е. - Теория вероятностей и математическая статистика, 12-ое издание [2015, DjVu, RUS]

Оглавление
Введение 14
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ
Глава 1. Основные понятия теории вероятностей 17
§ 1. Испытания и события 17
§ 2. Виды случайных событий 17
§ 3. Классическое определение вероятности 18
§ 4. Основные формулы комбинаторики 22
§ 5. Примеры непосредственного вычисления вероятностей 23
§ 6. Относительная частота. Устойчивость относительной
частоты 24
§ 7. Ограниченность классического определения вероятности.
Статистическая вероятность 26
§8. Геометрические вероятности 27
Задачи 30
Глава 2. Теорема сложения вероятностей 31
§ 1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий 31
§ 2. Полная группа событий 33
§ 3. Противоположные события 34
§ 4. Принцип практической невозможности маловероятных
событий 35
Задачи 36
Глава 3- Теорема умножения вероятностей 37
§ 1. Произведение событий 37
§ 2. Условная вероятность 37
§ 3. Теорема умножения вероятностей 38
§ 4. Независимые события. Теорема умножения
для независимых событий 40
§ 5. Вероятность появления хотя бы одного события 44
Задачи 47
Глава 4. Следствия теорем сложения и умножения 48
§ 1. Теорема сложения вероятностей совместных событий 48
4
Оглавление
§ 2. Формула полной вероятности 50
§ 3. Вероятность гипотез. Формулы Бейеса 52
Задачи 54
Глава 5. Повторение испытаний 55
§ 1. Формула Бернулли 55
§2. Локальная теорема Лапласа 57
§ 3. Интегральная теорема Лапласа 59
§ 4. Вероятность отклонения относительной частоты
от постоянной вероятности в независимых испытаниях 61
Задачи 63
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
Глава 6. Виды случайных величин.
Задание дискретной случайной величины 64
§ 1. Случайная величина 64
§ 2. Дискретные и непрерывные случайные
величины 65
§ 3. Закон распределения вероятностей
дискретной случайной величины 65
§ 4. Биномиальное распределение 66
§ 5. Распределение Пуассона 68
§ 6. Простейший поток событий 69
§ 7. Геометрическое распределение 72
§ 8. Гипергеометрическое распределение 73
Задачи 74
Глава 7. Математическое ожидание дискретной
случайной величины 75
§ 1. Числовые характеристики дискретных
случайных величин 75
§ 2. Математическое ожидание дискретной
случайной величины 76
§ 3. Вероятностный смысл математического ожидания 77
§ 4. Свойства математического ожидания 78
§ 5. Математическое ожидание числа
появлений события в независимых испытаниях 83
Задачи 84
Глава 8. Дисперсия дискретной случайной величины 85
§ 1. Целесообразность введения числовой
характеристики рассеяния случайной величины 85
§ 2. Отклонение случайной величины
от ее математического ожидания 86
§ 3. Дисперсия дискретной случайной величины 87
§ 4. Формула для вычисления дисперсии 89
Оглавление
5
§ 5. Свойства дисперсии 90
§ 6. Дисперсия числа появлений события
в независимых испытаниях 92
§ 7. Среднее квадратическое отклонение 94
§ 8. Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно
независимых случайных величин 95
§ 9. Одинаково распределенные взаимно
независимые случайные величины 95
§ 10. Начальные и центральные
теоретические моменты 98
Задачи 100
ГлаваЭ. Закон больших чисел 101
§ 1. Предварительные замечания 101
§ 2. Неравенство Чебышева 101
§ 3. Теорема Чебышева 103
§ 4. Сущность теоремы Чебышева 106
§ 5. Значение теоремы Чебышева для практики 107
§ 6. Теорема Бернулли 108
Задачи 110
Глава 10. Функция распределения вероятностей случайной
величины 111
§ 1. Определение функции распределения 111
§2. Свойства функции распределения 112
§ 3. График функции распределения 114
Задачи 115
Глава 11. Плотность распределения вероятностей непрерывной
случайной величины 116
§ 1. Определение плотности распределения 116
§ 2. Вероятность попадания непрерывной
случайной величины в заданный интервал 116
§ 3. Нахождение функции распределения
по известной плотности распределения 118
§ 4. Свойства плотности распределения 119
§ 5. Вероятностный смысл плотности распределения 121
§ 6. Закон равномерного распределения вероятностей 122
Задачи 124
Глава 12. Нормальное распределение 124
§ 1. Числовые характеристики
непрерывных случайных величин 124
§ 2. Нормальное распределение 127
§ 3. Нормальная кривая 130
§ 4. Влияние параметров нормального
распределения на форму нормальной кривой 131
§ 5. Вероятность попадания в заданный интервал
нормальной случайной величины 132
6
Оглавление
§ 6. Вычисление вероятности заданного отклонения 133
§ 7. Правило трех сигм 134
§ 8. Понятие о теореме Ляпунова.
Формулировка центральной предельной теоремы 135
§ 9. Оценка отклонения теоретического
распределения от нормального.
Асимметрия и эксцесс 137
§ 10. Функция одного случайного аргумента
и ее распределение 139
§11. Математическое ожидание функции
одного случайного аргумента 141
§ 12. Функция двух случайных аргументов.
Распределение суммы независимых слагаемых.
Устойчивость нормального распределения 143
§ 13. Распределение «хи квадрат» 145
§ 14. Распределение Стьюдента 146
§ 15. Распределение F Фишера — Снедекора 147
Задачи 147
Глава 13. Показательное распределение 149
§ 1. Определение показательного распределения 149
§ 2. Вероятность попадания в заданный интервал
показательно распределенной случайной величины 150
§ 3. Числовые характеристики показательного
распределения 151
§ 4. Функция надежности 152
§ 5. Показательный закон надежности 153
§ 6. Характеристическое свойство
показательного закона надежности 154
Задачи 155
Глава 14. Система двух случайных величин 155
§ 1. Понятие о системе нескольких случайных величин 155
§ 2. Закон распределения вероятностей
дискретной двумерной случайной величины 156
§ 3. Функция распределения двумерной
случайной величины 158
§ 4. Свойства функции распределения
двумерной случайной величины 159
§ 5. Вероятность попадания случайной точки в полуполосу 161
§ 6. Вероятность попадания
случайной точки в прямоугольник 162
§ 7. Плотность совместного распределения вероятностей
непрерывной двумерной случайной величины (двумерная
плотность вероятности) 163
§ 8. Нахождение функции распределения системы по известной
плотности распределения 163
Оглавление
7
§ 9. Вероятностный смысл двумерной
плотности вероятности 164
§ 10. Вероятность попадания случайной точки
в произвольную область 165
§ 11. Свойства двумерной плотности вероятности 167
§ 12. Отыскание плотностей вероятности составляющих
двумерной случайной величины 168
§ 13. Условные законы распределения составляющих системы
дискретных случайных величин 169
§ 14. Условные законы распределения
составляющих системы непрерывных
случайных величин 171
§ 15. Условное математическое ожидание 173
§ 16. Зависимые и независимые случайные величины 174
§ 17. Числовые характеристики системы двух случайных
величин. Корреляционный момент. Коэффициент
корреляции 176
§ 18. Коррелированность и зависимость
случайных величин 179
§ 19. Нормальный закон распределения
на плоскости 181
§ 20. Линейная регрессия. Прямые линии
среднеквадратической регрессии 182
§ 21. Линейная корреляция. Нормальная корреляция 184
Задачи 185
ЧАСТЬ ТРЕТЬЯ
ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
Глава 15. Выборочный метод 187
§ 1. Задачи математической статистики 187
§ 2. Краткая историческая справка 188
§ 3. Генеральная и выборочная совокупности 188
§ 4. Повторная и бесповторная выборки.
Репрезентативная выборка 189
§ 5. Способы отбора 190
§ 6. Статистическое распределение выборки 192
§ 7. Эмпирическая функция распределения 192
§ 8. Полигон и гистограмма 194
Задачи 196
Глава 16. Статистические оценки параметров распределения .... 197
§ 1. Статистические оценки параметров
распределения 197
§ 2. Несмещенные, эффективные
и состоятельные оценки 198
§ 3. Генеральная средняя 199
§ 4. Выборочная средняя 200
8
Оглавление
§ 5. Оценка генеральной средней по выборочной средней.
Устойчивость выборочных средних 201
§ 6. Групповая и общая средние 203
§ 7. Отклонение от общей средней и его свойство 204
§ 8. Генеральная дисперсия 205
§ 9. Выборочная дисперсия 206
§10. Формула для вычисления дисперсии 207
§ 11. Групповая, внутригрупповая, межгрупповая и общая
дисперсии 207
§ 12. Сложение дисперсий 210
§ 13. Оценка генеральной дисперсии
по исправленной выборочной 211
§ 14. Точность оценки, доверительная вероятность
(надежность). Доверительный интервал 213
§ 15. Доверительные интервалы для оценки математического
ожидания нормального распределения при известном s 214
§ 16. Доверительные интервалы для оценки
математического ожидания нормального
распределения при неизвестном s 216
§ 17. Оценка истинного значения измеряемой величины 219
§ 18. Доверительные интервалы для оценки
среднего квадратического отклонения s
нормального распределения 220
§ 19. Оценка точности измерений 223
§ 20. Оценка вероятности (биномиального распределения)
по относительной частоте 224
§ 21. Метод моментов для точечной оценки
параметров распределения 226
§ 22. Метод наибольшего правдоподобия 229
§ 23. Другие характеристики вариационного ряда 234
Задачи 235
Глава 17. Методы расчета сводных характеристик выборки 237
§ 1. Условные варианты 237
§ 2. Обычные, начальные и центральные
эмпирические моменты 238
§ 3. Условные эмпирические моменты.
Отыскание центральных моментов по условным 239
§ 4. Метод произведений для вычисления
выборочных средней и дисперсии 241
§ 5. Сведение первоначальных вариант
к равноотстоящим 243
§ 6. Эмпирические и выравнивающие
(теоретические) частоты 245
Оглавление 9
§ 7. Построение нормальной кривой
по опытным данным 248
§ 8. Оценка отклонения эмпирического
распределения от нормального.
Асимметрия и эксцесс 250
Задачи 252
Глава 18. Элементы теории корреляции 253
§ 1. Функциональная, статистическая
и корреляционная зависимости 253
§ 2. Условные средние 254
§ 3. Выборочные уравнения регрессии 254
§ 4. Отыскание параметров выборочного
уравнения прямой линии среднеквадратичной
регрессии по несгруппированным данным 255
§ 5. Корреляционная таблица 257
§ 6. Отыскание параметров выборочного
уравнения прямой линии регрессии
по сгруппированным данным 259
§ 7. Выборочный коэффициент корреляции 261
§ 8. Методика вычисления выборочного
коэффициента корреляции 262
§ 9. Пример на отыскание выборочного
уравнения прямой линии регрессии 267
§ 10. Предварительные соображения
к введению меры любой корреляционной связи 268
§11. Выборочное корреляционное отношение 270
§ 12. Свойства выборочного корреляционного
отношения 272
§ 13. Корреляционное отношение как мера
корреляционной связи. Достоинства
и недостатки этой меры 274
§ 14. Простейшие случаи криволинейной корреляции 275
§ 15. Понятие о множественной корреляции 276
Задачи 278
Глава 19. Статистическая проверка статистических гипотез 281
§ 1. Статистическая гипотеза. Нулевая
и конкурирующая, простая и сложная гипотезы 281
§ 2. Ошибки первого и второго рода 282
§ 3. Статистический критерий проверки
нулевой гипотезы. Наблюдаемое
значение критерия 283
§ 4. Критическая область. Область принятия гипотезы.
Критические точки 284
§ 5. Отыскание правосторонней критической области 285
§ 6. Отыскание левосторонней и двусторонней критических
областей 286
10
Оглавление
§ 7. Дополнительные сведения о выборе
критической области. Мощность критерия 287
§ 8. Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных
совокупностей 288
§ 9. Сравнение исправленной выборочной
дисперсии с гипотетической генеральной
дисперсией нормальной совокупности 293
§10. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей, дисперсии которых известны
(независимые выборки) 297
§11. Сравнение двух средних произвольно распределенных
генеральных совокупностей
(большие независимые выборки) 303
§12. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей, дисперсии которых
неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки) .... 305
§13. Сравнение выборочной средней
с гипотетической генеральной средней
нормальной совокупности 308
§14. Связь между двусторонней критической областью
и доверительным интервалом 312
§15. Определение минимального объема
выборки при сравнении выборочной
и гипотетической генеральной средних 313
§16. Пример на отыскание мощности критерия 313
§17. Сравнение двух средних нормальных
генеральных совокупностей с неизвестными
дисперсиями (зависимые выборки) 314
§ 18. Сравнение наблюдаемой относительной частоты
с гипотетической вероятностью
появления события 317
§19. Сравнение двух вероятностей
биномиальных распределений 319
§ 20. Сравнение нескольких дисперсий нормальных генеральных
совокупностей по выборкам различного объема. Критерий
Бартлетта 322
§21. Сравнение нескольких дисперсий
нормальных генеральных совокупностей
по выборкам одинакового объема.
Критерий Кочрена 325
§ 22. Проверка гипотезы о значимости
выборочного коэффициента корреляции 327
Оглавление 11
§ 23. Проверка гипотезы о нормальном
распределении генеральной совокупности.
Критерий согласия Пирсона 329
§ 24. Методика вычисления теоретических
частот нормального распределения 333
§ 25. Выборочный коэффициент ранговой корреляции
Спирмена и проверка гипотезы о его значимости 335
§ 26. Выборочный коэффициент ранговой
корреляции Кендалла и проверка гипотезы
о его значимости 341
§ 27. Критерий Вилкоксона и проверка
гипотезы об однородности двух выборок 343
Задачи 346
Глава 20. Однофакторный и дисперсионный анализ 349
§ 1. Сравнение нескольких средних. Понятие
о дисперсионном анализе 349
§ 2. Общая факторная и остаточная суммы
квадратов отклонений 350
§ 3. Связь между общей, факторной и остаточной суммами 354
§ 4. Общая, факторная и остаточная дисперсии 355
§ 5. Сравнение нескольких средних методом
дисперсионного анализа 355
§ 6. Неодинаковое число испытаний
на различных уровнях 358
Задачи 361
ЧАСТЬ ЧЕТВЕРТАЯ
МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО. ЦЕПИ МАРКОВА
Глава 21. Моделирование (разыгрывание) случайных величин
методом Монте-Карло 363
§ 1. Предмет метода Монте-Карло 363
§ 2. Оценка погрешности метода Монте-Карло 364
§ 3. Случайные числа 366
§ 4. Разыгрывание дискретной случайной величины 366
§ 5. Разыгрывание противоположных событий 368
§ 6. Разыгрывание полной группы событий 369
§ 7. Разыгрывание непрерывной случайной величины.
Метод обратных функций 371
§ 8. Метод суперпозиции 375
§ 9. Приближенное разыгрывание нормальной случайной
величины 377
Задачи 379
12
Оглавление
Глава 22. Первоначальные сведения о цепях Маркова 380
§ 1. Цепь Маркова 380
§ 2. Однородная цепь Маркова. Переходные
вероятности. Матрица перехода 381
§ 3. Равенство Маркова 383
Задачи 385
ЧАСТЬ ПЯТАЯ
СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Глава 23. Случайные функции 386
§ 1. Основные задачи 386
§ 2. Определение случайной функции 386
§ 3. Корреляционная теория случайных функций 388
§ 4. Математическое ожидание случайной функции 390
§ 5. Свойства математического ожидания
случайной функции 390
§ 6. Дисперсия случайной функции 391
§ 7. Свойства дисперсии случайной функции 392
§ 8. Целесообразность введения корреляционной функции 393
§ 9. Корреляционная функция случайной
функции 394
§ 10. Свойства корреляционной функции 395
§ 11. Нормированная корреляционная функция 398
§ 12. Взаимная корреляционная функция 399
§ 13. Свойства взаимной корреляционной функции 400
§ 14. Нормированная взаимная корреляционная функция 401
§ 15. Характеристики суммы случайных функций 402
§ 16. Производная случайной функции и ее характеристики 405
§ 17. Интеграл от случайной функции
и его характеристики 409
§ 18. Комплексные случайные величины
и их числовые характеристики 413
§ 19. Комплексные случайные функции
и их характеристики 415
Задачи 417
Глава 24. Стационарные случайные функции 419
§ 1. Определение стационарной случайной функции 419
§ 2. Свойства корреляционной функции
стационарной случайной функции 421
§ 3. Нормированная корреляционная функция стационарной
случайной функции 421
§ 4. Стационарно связанные случайные функции 423
§ 5. Корреляционная функция производной
стационарной случайной функции 424
Оглавление
13
§ 6. Взаимная корреляционная функция стационарной случайной
функции и ее производной 425
§ 7. Корреляционная функция интеграла
от стационарной случайной функции 426
§ 8. Определение характеристик эргодических стационарных
случайных функций из опыта 428
Задачи 430
Глава 25. Элементы спектральной теории
стационарных случайных функций 431
§ 1. Представление стационарной случайной функции в виде
гармонических колебаний со случайными амплитудами
и случайными фазами 431
§ 2. Дискретный спектр стационарной
случайной функции 435
§ 3. Непрерывный спектр стационарной
случайной функции. Спектральная плотность 437
§ 4. Нормированная спектральная плотность 441
§ 5. Взаимная спектральная плотность
стационарных и стационарно связанных
случайных функций 442
§ 6. Дельта-функция 443
§ 7. Стационарный белый шум 444
§ 8. Преобразование стационарной случайной функции
стационарной линейной
динамической системой 446
Задачи 449
Дополнение 451
A. Пример расчета многоканальной системы массового
обслуживания с отказами методом Монте-Карло 451
Б. Применение метода Монте-Карло
к вычислению определенных интегралов 453
B. Примеры случайных процессов 455
Приложения 461
Предметный указатель 474